На первый взгляд кажется странным появление касательных напряжений по этим (параллельным оси балки) сечениям. Однако сейчас же можно привести пример, поясняющий это явление.

Представим себе балку состоящей из двух одинаковых брусков прямоугольного сечения, положенных друг на друга (фиг. 215, а);

будем пренебрегать трением между ними. Предположим, что эта балка изгибается хотя бы силой Ру приложенной посредине пролёта. Вид балки после искривления в сильно преувеличенном масштабе показан на фиг. 215, б. Нижние волокна верхней балки AiBi растянулись, а верхние волокна нижней балки АВ сократились по сравнению со своей первоначальной длиной АВ.

Если же балка является цельным бруском, то она изогнётся так, как показано на фиг. 215, tf. Волокна АВ окажутся в нейтральном слое и не изменят своей длины.

Фиг. 215.

Фиг. 216.

Следовательно, при изгибе цельной балки по нейтральной плоскости от верхней половины балки на нижнюю, и обратно, будут передаваться касательные напряжения = х, удерживающие верхнюю и нижнюю половины балки от сдвига по нейтральному слою (фиг. 215, г).

Изобразим на фиг. 216 нижнюю часть фасада балки прямоугольного сечения, испытывающей плоский изгиб. Проведём два очень близких сечения 7-/ и 2-2 на расстоянии dx друг от друга. Проведём ещё горизонтальное сечение на расстоянии z от нейтрального слоя.

JO с Фиг. 217.

Таким образом из балки выделится элемент ABCD размерами

dXy у - Z и Ь. Вид этого элемента в аксонометрической проекции

показан на фиг. 217. Пусть изгибающий момент в сечении 1-I равен Ж, а в смежном сечении 2-2 равен M-\dM. Тогда по боковым граням элемента йТ-будут действовать нормальные напряжения о - слева меньшие, справа ббльшие. По гори- Mj-зонтальному сечению будут действовать каса--тельные напряжения

Касательные напряжения х по сечениям /-/ и 2-2 в условие равновесия выделенного элемента не войдут, так как мы используем равенство нулю суммы проекций всех сил на ось балки; поэтому мы их на чертеже и не изображаем.

Для составления уравнений равновесия вычислим все силы, действующие на наш элемент, параллельные оси балки. Элементарное касательное усилие dT по площадке bdx будет равно

dT = bdx.

Нормальные напряжения, действующие по боковой бесконечно малой площадке dF на уровне от нейтральной оси, будут равны:

Усилие dNi, приходящееся на эту площадку, будет равно;

dN, = dF.

На всю боковую грань AD будет действовать сила Ni (фиг. 217):

ZidF.

Интеграл I Zi dF представляет собой статтескпй момент

относительно нейтральной оси у части площади сечения GFAD, /расположенной от уровня z до края балки (фиг. 218). Обозначим его S{z). Знак z показывает, что S(z) меняется в зависимости от того, на каком расстояния z от нейтральной оси мы вычисляем напряжение т. Таким образом.

д. MS(z)

(15.1)

Аналогично на грань ВС нашего элемента действует сила

{M + dM)S{z) ---.

Разность нормальных усилий

уравновешивается при проектировании на ось Ох (фиг. 217) касательным усилием dT, Отсюда

jdM S(z)

Но - = Qy поэтому

dx Jyb

QS (z)

(15.3)

a значит, этой же формулой выражается и касательное напряжение на уровне z по сечению, перпендикулярному к оси балки.

Выведем формулу S{z) для случая балки прямоугольного сечения (фиг. 218) высотой h и шириной Ь, Статический момент площади QFAD относительно оси OiOj будет равен величине этой площади, умноженной на расстояние Zf от её центра тяжести до

оси OiOi. Площадь GFAD равна

расстояние Zf

равно h

Тогда

S{z)=.b[--z)

4z Л*

(15.4)

При вычислении статического момента части площади сечения безразлично, брать ли ту часть площади сечения, что расположена ниже уровня Z, или большую, так как по абсолютному значению оба статических момента будут равны. Берут обычно статический момент той части площади, вычисление которого более просто. Так как для

то формула (15.3) принимает вид:

прямоугольника

>~Т2 Qbh . 12

bbh . 8

fl--1 \ Л }

(15.5)

Таким образом, величина касательного напряжения т меняется по высоте прямоугольного сечения по закону параболы. У верхнего и нижнего краёв сечения при г = 4; Л/2 касательное напряжение х обращается в нуль, что находится в строгом соответствии с законом парности касательных напряжений. Максимума оно достигает в точках