(14.13) и (14.14) заменить угол а через р, а Jy, J и У, - через /)о Ло Лого = - результате получаем:

-г Ло sin

Jy = Jy, cosp

(14.19)

По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений (7.5) и (7.6) по двухМ взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях (§ 36). Поэтому мы и здесь можем применить построение круга Мора; следует лишь по горизонтальной оси откладывать экваториальные моменты инерции, по вертикальной - центробежные. Построение круга и анализ его рекомендуется сделать самостоятельно. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла ао (формула (14.17)) выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей шах J) от начального положения оси у:

(14.170

Эта формула полностью аналогична формуле (7.11).

Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты Jg и

Jgy. После этого следует найти по формуле (14.17) величину угла а и вычислить главные центральные моменты инерции Ло О формулам (14.18).

Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси Oyi (фиг. 199), наклонённой к Оуо под углом р, по формуле (14.19):

j; = y cosP + y,o sinP-

Фиг. 199. Зная же центральный момент инер-

ции Jyy можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси j/, проходящей на расстоянии а (фиг. 199) от центра тяжести по формуле (14.7):

j;=JyaF.

Во многих случаях удаётся сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных

§ 841

ГЛАВНЫЕ ОСИ и МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

осей. В самом деле, при выводе формулы а = -j- мы уже имели дело с интегралом yzdF, представляющим собой центробежный

момент инерции сечения относительно осей у z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.

Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии - всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

Л п-госм

Фиг. 200.

Пример 56. Найти моменты инерции прямоугольника (фиг. 200) относительно осей и 2:1 и центробежный момент его относительно тех же осей.

Центральные оси у \i z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:

20 . 15 , , 15 . 20

Jy =-J2- = == -J2-

Центральные моменты относительно повёрнутых осей до и Zq равньп

уо === COS* 45° + Jz sin2 45° =1 [10 ООО + 5625] = 7813 см = yj. Центробежный момент инерции относительно осей уо и Zq равен: y.==isin90°= = + 21.88 сж.

Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей yi и Zi равны:

yAB + BD 7,5 / 2 + 2,5 0,7 = 12,35 см, Zi=OD==BD = 2,5 0,7 = + 1,75 см.

Моменты инерции относительно осей yi и Zi равны:

у; = уо + Fzl = 7813 + 300 . 1,752 8734 см\ у; = уо + Fy\ = 7813 + 300 . 12,35* == 53 616 смК

Центробежный момент инерции равен:

= -уг + ii == 2188 + 300 . 1,75 12,35 = + 8678 см*.

§ 85. Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.

Как мы уже знаем, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.

Найдём теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмём ось и начнём её вращать, т. е. менять угол а; при этом будет изменяться величина

Jy = Jy cos а -- sin - а - Jy sin 2a.

Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу а, при котором производная обращается

в нуль. Эта производная равна:

= - 2Jy cos а sin а 2/ sin а cos а - 2/ cos 2а.

Подставляя в написанное выражение a = ai и приравнивая его нулю, получаем:

(Л - Jy) sin 2ai - 2Jy, cos 2ai = 0;

отсюда

tg2a,=--=tg2a..

Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то

Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т. е. если

JyQ - Jmax) ТО Jzq = Jmin*

Следовательно, главные центральные оси инерции - это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.

В дальнейшем будем обозначать главные оси инерции у и z и главные моменты инерции сечения Jy и J. Осью х по-прежнему будет обозначаться ось балки по её длине.