Главная страница
Форум
Промиздат
Опережения рынка
Архитектура отрасли
Формирование
Тенденции
Промстроительство
Нефть и песок
О стали
Компрессор - подбор и ошибки
Из истории стандартизации резьб
Соперник ксерокса - гектограф
Новые технологии производства стали
Экспорт проволоки из России
Прогрессивная технологическая оснастка
Цитадель сварки с полувековой историей
Упрочнение пружин
Способы обогрева
Назначение, структура, характеристики анализаторов
Промышленные пылесосы
Штампованные гайки из пружинной стали
Консервация САУ
Стандарты и качество
Технология производства
Водород
Выбор материала для крепежных деталей
Токарный резец в миниатюре
Производство проволоки
Адгезия резины к металлокорду
Электролитическое фосфатирование проволоки
Восстановление корпусных деталей двигателей
Новая бескислотная технология производства проката
Синие кристаллы
Автоклав
Нормирование шумов связи
Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
|
Главная --> Промиздат --> Коэффициент поперечной деформации + л = J dFуЫР= (z +У)dF=jpUF = Jp,(UA6) где р = ]/ у- расстояние площадок dF от точки О. Величина Jp = pdF является, как уже известно, полярным моментом инерцик сечения относительно точки О (§ 58). Полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходяшдх через эту точку. Поэтому эта сумма и остаётся постоянной при повороте осей. Зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга мы уже имели (§ 58) Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси у, надо знать моменты инерции Jy и J относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Ог, центробежный момент инерции Jy;g относительно тех же осей и угол наклона оси ух к оси у. Для вычисления же величин Jy, У, Jy приходится так выбирать оси у и Z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей. Заметим, что ход вывода и полученные результаты (14.13) и (14.14) не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (14.13) и (14.14) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повёрнутой на некоторый угол а, независимо от того, центральные это оси или нет. Из формул (14.13) можно получить ещё одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложим выражения для Jy и Jz (14.13); получим у; -f- 4 = Jy (cos а + sin а) -f У (sin а + cos а) = У, + У, (14.15) т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и Z не меняется при их повороте. Подставляя в формулу (14.15) вместо Jy и У их значения из (14.9), получаем: Так как по симметрии для круга J = Jy, то что было получено выше путём интегрирования (§ 80). Точно так же для тонкостенного кольцевого сечения на основании формулы (11.15) можно получить: любой § 84. Главные оси инерции и главные моменты инерции. Формулы (14.7) и (14.13) решают поставленную в § 81 задачу: зная для данной фигуры центральные моменты инерции У, / Jyy мы можем вычислить момент инерции и относительно другой оси. При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы (14.13) упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен нулю. В самом деле, моменты инерции Jy и J всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z w у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю (см. § 78, п. В). Те оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать j/q и z\ для них Найдём, под каким углом ао наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) Фиг. 198. главные оси. В формуле перехода (14.14) от осей yz к осям yz для центробежного момента инерции дадим углу а значение ао; тогда оси у и z совпадут с главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю: Jyz при а = ао = Лоо > 00 = - у Sin 2ао (Л - Jy) + Jyz COS 2ао = О, Ло = Jy sin -f J, cos a, -f J, Этими формулами вместе с формулой (14.17) можно пользоваться при решении задач. В § 85 будет показано, что одним из главных моментов инерции является Уах, другим Jmin. Формулы (14.18) можно преобразовать к виду, свободному от значения а. Выражая cos а и sin а через cos и подставляя их значения в первую формулу (14.18), получим, делая одновременно замену Jy из формулы (14.17): Л -Ь- 1 J~coc2a I Ij-h sin2ao У--2 2 OSSi- 2 cos2ao ~ C0s2ao* Заменяя здесь из формулы (14.17) дробь на db /l--tg2ay = = ±УЙ5. получаем: /шах = Ц±4-(14.18) К ЭТОЙ же формуле можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (14.18). За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси Оу и Oz, тогда в формулах вида (14.13) не будет фигурировать центробежный момент инерции (/уоо = )- Обозначим угол, составленный осью у (фиг. 199) с главной осью Оу, через 3. Для вычисления yj и У,, переходя от осей у и z, нужно в формулах откуда ig2v., = -f. (14.17) Этому уравнению удовлетворяют два значения 2ао, отличающиеся на 180°, ИЛИ два значения а, отличающиеся на 90°. Таким образом, уравнение (14.17) даёт нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси Уо и 2о, для которых JyzQ = 0. Пользуясь формулой (14.17), можно по известным J, и Jy. получить формулы для главных моментов инерции Jy и Jz. Для этого опять воспользуемся формулами (14.13); они дадут нам значения /уо --0 сли вместо а подставить а: yy, = JyCOs4o + sinS -7 sin2a 1 sin 2а. j |