Нефть и песок О стали Компрессор - подбор и ошибки Из истории стандартизации резьб Соперник ксерокса - гектограф Новые технологии производства стали Экспорт проволоки из России Прогрессивная технологическая оснастка Цитадель сварки с полувековой историей Упрочнение пружин Способы обогрева Назначение, структура, характеристики анализаторов Промышленные пылесосы Штампованные гайки из пружинной стали Консервация САУ Стандарты и качество Технология производства Водород Выбор материала для крепежных деталей Токарный резец в миниатюре Производство проволоки Адгезия резины к металлокорду Электролитическое фосфатирование проволоки Восстановление корпусных деталей двигателей Новая бескислотная технология производства проката Синие кристаллы Автоклав Нормирование шумов связи Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
Главная --> Промиздат -->  Коэффициент поперечной деформации 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 ( 90 ) 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282

+ л = J dFуЫР= (z +У)dF=jpUF = Jp,(UA6)

где р = ]/ у- расстояние площадок dF от точки О. Величина Jp = pdF является, как уже известно, полярным моментом инерцик

сечения относительно точки О (§ 58).

Полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходяшдх через эту точку. Поэтому эта сумма и остаётся постоянной при повороте осей. Зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга мы уже имели (§ 58)

Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси у, надо знать моменты инерции Jy и J относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Ог, центробежный момент инерции Jy;g относительно тех же осей и угол наклона оси ух к оси у.

Для вычисления же величин Jy, У, Jy приходится так выбирать оси у и Z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

Заметим, что ход вывода и полученные результаты (14.13) и (14.14) не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (14.13) и (14.14) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повёрнутой на некоторый угол а, независимо от того, центральные это оси или нет.

Из формул (14.13) можно получить ещё одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложим выражения для Jy и Jz (14.13); получим

у; -f- 4 = Jy (cos а + sin а) -f У (sin а + cos а) = У, + У, (14.15)

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и Z не меняется при их повороте. Подставляя в формулу (14.15) вместо Jy и У их значения из (14.9), получаем:



Так как по симметрии для круга J = Jy, то

что было получено выше путём интегрирования (§ 80).

Точно так же для тонкостенного кольцевого сечения на основании формулы (11.15) можно получить:

любой

§ 84. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Формулы (14.7) и (14.13) решают поставленную в § 81 задачу: зная для данной фигуры центральные моменты инерции У, / Jyy мы можем вычислить момент инерции и относительно другой оси.

При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы (14.13) упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен нулю. В самом деле, моменты инерции Jy и J всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент

может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z w у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю (см. § 78, п. В).

Те оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если

начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать j/q и z\ для них

Найдём, под каким углом ао наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) Фиг. 198. главные оси. В формуле перехода (14.14)

от осей yz к осям yz для центробежного момента инерции дадим углу а значение ао; тогда оси у и z совпадут с главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:

Jyz при а = ао = Лоо >

00 = - у Sin 2ао (Л - Jy) + Jyz COS 2ао = О,



Ло = Jy sin -f J, cos a, -f J,

Этими формулами вместе с формулой (14.17) можно пользоваться при решении задач. В § 85 будет показано, что одним из главных

моментов инерции является Уах, другим Jmin.

Формулы (14.18) можно преобразовать к виду, свободному от значения а. Выражая cos а и sin а через cos и подставляя их значения в первую формулу (14.18), получим, делая одновременно замену Jy из формулы (14.17):

Л -Ь- 1 J~coc2a I Ij-h sin2ao У--2 2 OSSi- 2 cos2ao ~

C0s2ao*

Заменяя здесь из формулы (14.17) дробь на db /l--tg2ay = = ±УЙ5. получаем:

/шах = Ц±4-(14.18)

К ЭТОЙ же формуле можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (14.18).

За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси Оу и Oz, тогда в формулах вида (14.13) не будет фигурировать центробежный момент инерции (/уоо = )- Обозначим угол, составленный осью у (фиг. 199) с главной осью Оу, через 3. Для вычисления yj и У,, переходя от осей у и z, нужно в формулах

откуда

ig2v., = -f. (14.17)

Этому уравнению удовлетворяют два значения 2ао, отличающиеся на 180°, ИЛИ два значения а, отличающиеся на 90°. Таким образом, уравнение (14.17) даёт нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси

Уо и 2о, для которых JyzQ = 0.

Пользуясь формулой (14.17), можно по известным J, и Jy. получить формулы для главных моментов инерции Jy и Jz. Для этого опять воспользуемся формулами (14.13); они дадут нам значения /уо --0 сли вместо а подставить а:

yy, = JyCOs4o + sinS -7 sin2a 1

sin 2а. j



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 ( 90 ) 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282