Надо иметь в виду, что закон Гука представлен формулой, которая только приближённо отражает результаты опытов, схематизируя их; поэтому он не представляет собой совершенно точной зависимости.

Все материалы при растяжении или сжатии дают величины деформаций, более или менее отклоняющиеся от этого закона. Для некоторых материалов (большинство металлов) эти отклонения ничтожно малы, и можно считать, что осуществляется полная пропорциональность между деформацией и нагрузкой; для других (чугун, камень, бетон) - отклонения значительно больше.

Однако для практических целей мы можем пренебречь наблюдающимися небольшими отклонениями от формул (2.5) и (2.6) и пользоваться ими при вычислении деформаций стержней.

Средние величины модуля Е для ряда материалов даны в таблице 2. Более подробные данные приведены в таблице в конце книги.

Таблица 2, Значения модуля упругости.

Наименование материала

в миллионах

К2/СМ

Сталь ...................

Чугун (серый, белый).........

Медь и её сплавы (латунь, бронза)

Алюминий и дуралюмин........

Каменная кладка:

из гранита..........

> известняка ........

> кирпича..........

Бетон ...................

Дерево:

вдоль волокон........

поперёк волокон ......

Каучук ..................

Целлулоид ................

2.0 1,15 4-1,60 1,0 0,7

0,09 0,06 0,03 0,100,30

0,1 0,005 0,00008 0,0193 4-0,0174

Из рассмотрения формулы (2.5) ясно, что чем больше её знаменатель, тем менее растяжим (податлив) или, как говорят, тем более жёсток стержень, поэтому знаменатель формулы (2.5), величина EF, называется жёсткостью стержня при растяжении или сжатии. Мы видим, что жёсткость при растяжении или сжатии зависит, с одной стороны, от материала стержня, характеризуемого величиной его модуля упругости , а с другой стороны, от размеров поперечного сечения стержня, характеризуемых величиной площади его поперечного сечения F. Иногда бывает удобно пользоваться

понятием относительной жёсткости, которая равна -, т. е. отношению жёсткости к длине стержня.

Формулы (2.5) и (2.6) позволяют определить удлинения и укорочения, которые получает тот или иной стержень конструкции при

растяжении или сжатии. Обратно, зная эти удлинения, размеры и материал стержня, можно вычислить нормальные напряжения, которые в нем возникают. Таким образом, для вычисления напряжений а мы имеем два пути: если известны внешние силы Р, растягивающие или сжимающие стержень, то а вычисляется по формуле

= -J-; (2.1)

если же внешние силы неизвестны, а можно измерить удлинение стержня, то а определяется формулой

о = еЕ. (2.7)

Величина относительного удлинения может быть вычислена, если мы измерим абсолютное удлинение Д/ участка стержня длиной / и применим формулу

Вторым приёмом определения напряжений приходится пользоваться довольно часто при решении целого ряда задач, как это будет показано ниже.

Для иллюстрации метода подбора сечения и определения деформаций решим два примера. Фиг. ю.

Пример 1. Трубчатая чугунная колонна с наружным диаметром D=25cM сжата силой Р = 50 г. Допускаемое напряжение на сжатие [а] = 300 кг/см*, длина колонны / = 3,5 м. Найти толщину стенок и абсолютное укорочение колонны; модуль Я= 1 200000 кг/см.

Величина рабочей площади колонны (заштрихованное кольцо на фиг. 10) определится из формулы (2.3):

fPJiei см. {а] 300

Площадь кольца равна

где d - внутренний диаметр колонны. Тогда

d = у V

Толщина стенок будет равна

. D-d 25-20,2

t = -2- =-2- * *

и окончательно d = 20 см. Абсолютная величина укорочения колонны определяется формулой (2.5)

F == (D -d)- (25 - 208) а

следовательно,

=:& = -[#Л = - 2 -0.8 мм.

Полученное укорочение оказывается весьма малым по сравнению с длиной колонны. Можно было бы думать, что для инженера такие изменения размеров конструкции не имеют практического значения. Однако это не так. Небольшие изменения длины колонны под нагрузкой могут вызвать, как это будет показано дальше, значительные изменения напряжения в частях конструкции, поддерживаемых этой колонной.

Пример 2. При испытании моста возникла необходимость в измерении напряжений, появившихся в элементе фермы моста при нагружении его поездом. Для этого измерялось увеличение длины / между двумя точками, отмеченными на данном элементе. Измерение производилось прибором, увеличивающим действительные деформации в /1=1000 раз. Длина /=10сл1; модуль Ez=z2- 10* кг/см. Перемещение стрелки прибора по шкале при нагружении моста равнялось а = 20 мм. Найти напряжение.

Для вычисления напряжения в этом случае придётся воспользоваться формулой (2.7):

о = еЯ;

применить формулу а = невозможно, так как сила Р неизвестна. Относительное удлинение t равно

Абсолютное же удлинение равно перемещению а стрелки прибора, разделённому на коэффициент увеличения прибора п:

Таким образом,

§ 9. Коэффициент поперечной деформации.

Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают помимо продольных деформаций и поперечные.

Как показывает опыт, при растяжении бруска (фиг. 11) длина его увеличивается на величину А/, ширина же уменьшается на величину Д = - di. Относительная продольная деформация равна

= 1 >

относительная поперечная деформация равна

4-х-

При сжатии бруска продольной деформацией является укорочение, поперечной - удлинение. Опыты показывают, что для большинства материалов в 3-f-4 раза меньше, чем е.