ГЛАВА XIV.

ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР.

§ 80. Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.

В § 78 мы назвали моментом инерции сечения относительно нейтральной оси интеграл такого вида:

J=zdF. (13.7)

Здесь Z - расстояние элементарной площадки dF от нейтральной оси; суммирование охватывает всю площадь сечения. Покажем в качестве примера вычисление этого интеграла для прямоугольника (фиг. 187) высотой h и шириной Ь. Проведём через его центр тяжести О оси симметрии Oz и Оу. Если внешние силы, действующие

Второй случай имеет место, когда материал балки различно сопротивляется растяжению и сжатию; тогда (подробнее см. в § 90) вместо одного условия прочности мы получаем два: одно - для растянутых, другое - для сжатых волокон: м м

Р = + -#Г1 сж = --К 1- (13.17)

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, что больше, [а] или [а ] приходится соответствующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так, чтобы Wi и удовлетворяли условию прочности.

Таким образом, формулы (13.15) и (13.17) дают нам возможность при вычисленной величине Жшах и выбранном материале (допускаемом напряжении) подобрать необходимую величину момента сопротивления балки. Для того чтобы от этой величины перейти к размерам сечения, необходимо научиться вычислять J и W для любых форм поперечных сечений. Методы вычисления J и W даны в следующем параграфе.

Что касается физического смысла момента сопротивления, то он ясен из формулы (13.13); чем больше IF, тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подвергаясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления характеризует влияние формы и размеров принятого сечения на прочность балки при напряжениях, не превосходящих предела пропорциональности.

При напряжениях, превышающих предел пропорциональности материала, формулы (13.13) и (13.17) перестают быть справедливыми.

на балку, лежат в плоскости Oz, то нейтральной осью будет ось Оу. Найдём относительно этой оси сначала момент инерции, а потом и момент сопротивления площади прямоугольника.

Площадки dF, на которые следует разбить всю площадь сечения, выберем в виде узких прямоугольников шириной b и высотой dz (фиг. 187). Тогда

dF = bdz,

и интеграл J принимает вид:

= \ bz dz.

Чтобы взять интеграл по всей площади прямоугольника, следует Z менять от -у +у Тогда

+4

Jy= J bzdz = b л

+ -2 2

12

(14.1)

Момент же сопротивления мы получим, разделив Jy на гщах

относительно 2

нейтральной оси Оу

- (14.2)

Если бы нам нужно было вычислить момент инерции и момент сопротивления прямоугольника относительно оси Oz, то в получен-

ных формулах следовало бы b и h поменять местами:

(14.3)

ГУ УУУ. 7777777.

Заметим, что сумма

произведений z dF не Фиг. 187. Фиг. 188.

изменится, если мы

сдвинем все полоски dF = bdz (фиг. 187) параллельно самим себе Ул, что они расположатся в пределах параллелограмма ABCD (фиг. 188),

Таким образом, момент инерции параллелограмма ABCD относительно оси у равен моменту инерции равновеликого ему прямоугольника ABGE:

При вычислении момента инерции круга радиуса г (фиг. 189) также разбиваем площадь на узкие полоски размером dz вдоль оси Oz\ ширина этих полосок b - b{z) тоже будет переменной

по высоте сечения. Элементарная площадка

dF = b(z) dz.

Момент инерции равен: J=z b{z) dz.

Так как верхняя и нижняя половины сечения одинаковы, то вычисление момента инерции достаточно провести для одной нижней и результат удвоить. Пределами для изменения z будут О и г:

b{z)dz.

Введём новую переменную интегрирования - угол а (фиг. 189); тогда

2- = г cos у; dz = - -r sin у d%, b {z) = 2r sin у. Пределы: при z = а = к; при z = r а = 0, следовательно,

о т:

У = 2 J 2г4 cos у sin у у = у J а а = (14.4)

2 ,ov г 4

(14.5)

Для круга всякая ось, проходящая через центр тяжести, есть ось Симметрии. Поэтому формулы (14.4) и (14.5) годны для любой такой оси.