I 79] ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ВАЛОК

Просуммировав по всей длине балки, найдём:

2EJ

(13 12)

При чистом изгибе балки (M = const.) и постоянном сечении её по всей длине (£ 7 = const.) потенциальная энергия выразится так

2EJ

§ 79. Применение полученных результатов к проверке прочности балок.

Формула (13.9) решает вопрос о величине и распределении нормальных напряжений по сечению. Она выведена в предположении наличия чистого изгиба, когда сечения остаются плоскими.

Исследования показали, что когда Q не равно нулю, сечения не только поворачиваются, но и несколько искривляются под влиянием касательных напряжений. Однако это искривление для двух смежных сечений таково, что оно не меняет установленного выше закона распределения деформаций волокон, заключающихся между этими сечениями. Поэтому формула (13.9) может быть применена и в том случае, когда Q не равно нулю.

Далее следует отметить, что пока мы имеем право применять эту формулу лишь в том случае, когда сечения балки имеют ось симметрии и внешние силы расположены в этой плоскости сим-ыетрии.

Нейтральная ось в каждом сечении, от которой отсчитывается г, проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

На фиг. 185 приведены примеры распределения напряжений при различных формах сечений балки: прямоугольник, тавр, tpeyгoльник. Во всех точках, одинаково удалённых от нейтральной оси, нормальные напряжения одинаковы. По одну сторону нейтральной оси мы получаем сжимающие, а по другую сторону - растягивающие напряжения. Наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси. При выбранных условиях

Фиг. 185.

>тах - J

Обычно эту формулу преобразовывают, деля числитель и знаме-

натель на тах.

Величина - называется осевым моментом сопротивления

сечения и обозначается буквой W, Так как J выражается в единицах длины в четвёртой степени, то W измеряется единицами длины в третьей степени, например см. Таким образом,

<Jmax=-, (13.13)

W = - . (13.14)

При симметричном относительно нейтральной оси сечении, например прямоугольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сечение имеет оЬно вполне определённое значение момента сопротивления относительно оси у. Так, при высоте прямоугольника (фиг. 186, а), равной /г,

относительно знаков Миг формула (13.9) автоматически даёт правильный знак для а, плюс - для растягивающих и минус - для сжимающих напряжений.

При положительном изгибающем моменте балка гнётся выпуклостью вниз, верхние волокна сжимаются (z<CO)y нижние растягиваются. При отрицательном изгибающем моменте получается обратная картина. Поэтому при решении практических задач для выбора знака нормальных напряжений можно руководствоваться правилом: если точка рассматриваемого сечения находится в растянутой зоне, то а следует брать со знаком плюс, а если в сжатой - со знаком минус. Разумеется, в этом случае в формулу (13.9) следует подставлять абсолютные значения Миг.

Для проверки прочности материала балки по отношению к нормальным напряжениям необходимо найти наиболее напряжённые на растяжение и сжатие площадки. Для этого необходимо применить формулу (13.9) к опасному сечению, т. е. подставить в неё вместо М его наибольшее значение Жтах, а вместо г подставить тах - расстояние от нейтральной оси до наиболее удалённых от неё точек. Тогда для наибольшего нормального напряжения получаем формулу

тах тах

Если сечение несимметрично относительно нейтральной оси - тавр, мы получим два момента сопротивления: один для волокон А J

м nnv-

-у h

(фиг. 186, б)\ 11= и другой для волокон В\ W -

= -г-. Теперь в формулу

(13.13) следует . вводить: Wi - при вычислении напряжений в точке Л и - при вычислении напряжений в точке В,

Переходим к составлению условия прочности по

напряжениям растяжения или сжатия. Это условие выражает ту мысль, что наибольшее действительное напряжение должно быть не больше допускаемого:

W = -<M. (13.15)

Отсюда находим, что

Фиг. 186.

(13.16)

т. е. необходимый по условию прочности момент сопротивления сечения балки должен быть больше или равен наибольшему изгибающему моменту, делённому на допускаемое напряжение.

Так как W зависит от формы и размеров сечения балки, то, выбрав форму (прямоугольник, тавр, двутавр), мы сможем подобрать размеры балки так, чтобы её сечение имело момент сопротивления, равный полученному из формулы (13.16). Как это делается практически, будет показано ниже. Для прокатных профилей значения / и W даются в таблицах сортамента (см. приложение IX).

При применении формул (13.15) и (13.16) следует различать два случая.

Первый случай, наиболее часто встречающийся при изгибе,- когда материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию; в этом случае допускаемые напряжения для того и другого вида деформации равны между собой:

Ы = [сж] = [о].

Тогда при симметричном сечении безразлично, проверять ли прочность растянутых или сжатых волокон, ибо для тех и других момент сопротивления W и наибольшие действительные напряжения будут иметь одну и ту же величину. При несимметричном сечении в формулы (13.15) и (13.16) вместо W надо подставить то значение Wi или 12, которое меньше) оно будет относиться к более удалённому волокну.