Так как - = const. тО, то

zdF = 0. (13.5)

Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно нейтральной оси. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Так как центр тяжести лежит и на оси симметрии Oz, то точка пересечения этих двух осей О является центром тяжести сечения, а ось Ох - осью стержня.

Таким образом, положения нейтральной оси и нейтрального слоя вполне определены. Нейтральный слой заключает в себе центры тяжести всех сечений стержня.

Теперь подставим то же выражение (13.4) в уравнение (13.3):

;Л1 = 0, ~zydF=0 или zydF=0,

Отсюда следует, что

zydF=0. (13.6)

Полученный интеграл - сумма произведений из элементарных площадок на расстояния их до координатных осей - называется центробежным моментом инерции относительно осей у и z. Центробежный момент инерции может быть положителен, может быть и величиной отрицательной, а следовательно, может и обратиться в нуль, так как координаты элементарных площадок могут иметь разные знаки.

По условию (13.6), в нашем случае центробежный момент инерции, который обычно обозначается символом

= \zydF,

должен обратиться в нуль.

Так как сечение симметрично относительно оси Oz, то для каждой площадки dF с координатами z, у слева от оси z мы можем подыскать такую же, симметрично расположенную, площадку справа от оси z. Координаты z для этих площадок будут одинаковыми и по величине и по знаку, координаты же у окажутся одина-

Подставляя значение а из выражения (13.4) в уравнение (13.1), получим:

VA = 0 или jjZdFO.

разобьётся на две суммы, равные по величине и противоположные по знаку. Таким образом, этот интеграл для симметричных сечений всегда равен нулю, и уравнение (13.6) обращается в тождество.

Наконец, используем последнее уравнение (13.2); подставив в него выражение (13.4), получим:

2Л1 = 0, jz4F = M или jjz4F=M.

Обозначим

Уу== f zUF. (13.7)

Этот интеграл, т. е. сумма произведений из элементарных пло щадок на квадраты расстояний их до оси, называется осевым или экваториальным моментом инерции площади относительно оси у и обозначается символом Jy. Так как ось у - нейтральная ось, то есть момент инерции площади сечения балки относительно нейтральной оси*). Тогда из преобразованного только что уравнения (13.2) получаем:

f==M или 1 = . (13.8)

Подставляя найденное значение у в уравнение (13.4), находим:

а = . (13.9)

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно нейтральной оси.

Нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна к плоскости действия сил.

Момент инерции сечения, как видно из формулы (13.7), измеряется в единицах длины в четвёртой степени и зависит от формы

) В дальнейшем, при обозначении момента инерции относительно нейтральной оси у, мы часто будем опускать индекс у, обозначая его для краткости просто У, вместо Jy.

новыми по абсолютной величине, но обратными по знаку. Поэтому сумма

zy dF

И размеров сечения. Практические приёмы его вычисления для различных сечений будут показаны далее.

Для установления физического смысла этой величины видоизменим формулу (13.8):

Отсюда видно, что чем больше при данном изгибающем моменте момент инерции сечения J, тем большим окажется радиус кривизны нейтралыюго слоя, а стало быть, и оси балки, т. е. тем меньше балка искривится.

Величина момента инерции характеризует способность балки сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы поперечного сечения балки. Модуль упругости Е характеризует ту же способность балки сопротивляться искривлению, но уже в зависимости от материала балки. Произведение EJ называется жёсткостью балки при изгибе, и чем оно больше, тем меньше искривится балка при действии данного изгибающего момента.

Г. С искривлением оси балки связан взаимный поворот сечений; длина отрезка 0O = dx, как это видно из чертежа (фиг. 183), равна pflfa. Отсюда угол поворота двух смежных сечений

, dx Р

Подставляя вместо у его значение -gj, получим:

da = i, (13.11)

Т. е. деформации при изгибе - поворот сечений fifa, как и кривизна

оси балки прямо пропорциональны величине изгибающего момента

и обратно пропорциональны жёсткости балки.

Повторяя рассуждения, приведённые в § 62, легко подсчитать потенциальную энергию, накопленную балкой при изгибе. При изгибе бесконечно малого отрезка балки, длиной dx, работа изгибающего момента на угловом перемещении rfa будет:

Подставляя do, из уравнения (13.11), получим