Нефть и песок О стали Компрессор - подбор и ошибки Из истории стандартизации резьб Соперник ксерокса - гектограф Новые технологии производства стали Экспорт проволоки из России Прогрессивная технологическая оснастка Цитадель сварки с полувековой историей Упрочнение пружин Способы обогрева Назначение, структура, характеристики анализаторов Промышленные пылесосы Штампованные гайки из пружинной стали Консервация САУ Стандарты и качество Технология производства Водород Выбор материала для крепежных деталей Токарный резец в миниатюре Производство проволоки Адгезия резины к металлокорду Электролитическое фосфатирование проволоки Восстановление корпусных деталей двигателей Новая бескислотная технология производства проката Синие кристаллы Автоклав Нормирование шумов связи Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
Главная --> Промиздат -->  Коэффициент поперечной деформации 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 ( 84 ) 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282

§ 78. Вычисление нормальных напряжений при изгибе. Закон Гука и потенциальная энергия при изгибе.

А. Возьмём балку, подвергающуюся чистому изгибу парами М (фиг. 182). Пользуясь методом сечения, разрежем балку сечением У-У на 2 части и рассмотрим условия равновесия одной из отсечённых частей, например левой, показанной на фиг. 182 внизу. Для простоты чертежа балка взята прямоугольного сечения. Так как практически искривления балки ничтожны по сравнению с её размерами, то отсечённая часть изображена недеформированной.

Линия пересечения плоскости симметрии балки с плоскостью сечения принята за ось Z (положительное направление взято вниз); нейтральная ось сечения принята за ось у, причём положение её по высоте балки пока неизвестно. Ось X взята вдоль нейтрального слоя перпендикулярно к осям у и Z.

В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения с. Выделив вокруг любой точки с координатами у и z элементарную площадку dF, обозначим действующую на неё силу dN=a dF.

Отсечённая часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару УИ, и нормальных усилий dN, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система сил должна удовлетворять шести уравнениям статики. Напишем сначала уравнения проекций на 3 координатные оси х, у, z.

Так как проекция пары М на любую ось равна нулю, то эти уравнения дадут равенство нулю суммы проекций нормальных усилий dA на оси. Заменяя суммирование этих усилий по всей площади сечения интегрированием, получим:


Л=0; J GdF=0.

(13.1)

2К=0 и VZ = 0 обращаются в тождества вида 0 = 0, так как усилия dN=adF проектируются на эти оси в точку.

Составим теперь уравнения моментов относительно осей х, у и z. Заметим при этом, что пара М лежит в плоскости xOz и потому моментов относительно осей Ох и Oz не даёт.



Mj = 0 обращается в тождество, так как усилия dNodP параллельны оси х:

2Мз, = 0; M-dNZ = 0 или M-odFZ=0

откуда

o*zdF=M\ (13.2)

VA1, = 0; dNy = 0 или adF*y = 0. (13.3)

Таким образом, из шести уравнений равновесия можно использовать только три:

Х = 0 или J cdF = 2Му = 0 или azdF= 2M, = 0 или jaydF=0.

= 0,

(13.Г) (13.20 (13.3)

Однако полученных трёх уравнений статики недостаточно для определения величины нормальных напряжений, так как с изменяется

в зависимости от расстояния z площадки dF до нейтральной оси по неизвестному пока закону. Это расстояние (Z) тоже неизвестно, так как неизвестно положение нейтральной оси у,

Б. Обратимся к рассмотрению деформаций балки, для чего двумя бесконечно близкими сечениями У-/ и 2-2 выделим из неё элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации показан на фиг. 183.

Для ясности чертежа деформация элемента показана с сильным преувеличением. Оба поперечных сечения, оставаясь плоски/ кими, повернутся вокруг нейтральных осей (на фасаде точки 0 и 0) и образуют угол da. Нейтральный слой показан пунктиром. Линия OiOj, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит свою первоначальную длину dx. Все волокна, лежащие выше нейтраль-HOiO слоя, укорачиваются, а ниже - удлиняются.


Фиг. 183.





\ [ \ 0

\ 1 Z

соте сечения по линейному ) \~

закону. / \ V

На нейтральной оси при [ (Нейтральный слой \ z - и а = 0; при переходе в сжатую зону (выше нейтральной оси) о вместе с Z меняет знак на минус (сжатие) и вновь растёт по Фиг. 184.

абсолютному значению по

мере удаления от нейтральной оси. Следовательно, наибольшего значения напряжения достигнут у верхнего и нижнего краев сечения при -2 =-тах Характер распределения напряжений показан на фиг. 184.

Уравнение (13.4) даёт только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться для вычисления величины их, так как ни р, ни z неизвестны, поскольку неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения.

В. Для определения а в зависимости от изгибающего момента обратимся к совместному решению полученного из рассмотрения деформаций уравнения (13.4) и уравнений статики (13.1), (13.2) и (13.3).

Найдём удлинение какого-либо волокна АВ, расположенного в расстоянии z от нейтрального слоя и растянутого напряжениями а. Первоначальная длина этого волокна равна dx= 00 = dd. После деформации его длина по дуге АВ стала AB - {-\-z)d(i. Абсолютное удлинение рассматриваемого волокна Ы = -\-z)dx - - pd7. = zd7.. Относительное удлинение равно

Z da z

~Jdi~ р

т. е. удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Здесь р - радиус кривизны нейтрального слоя, величину которого для выделенного (бесконечно малого по длине) элемента можно считать постоянной. Допустив, что при изгибе волокна друг на друга не давят и что каждое волокно испытывает простое (линейное) растяжение или сжатие, - для вычисления напряжений можем воспользоваться законом Гука при растяжении:

а = Ег ИЛИ а = -, (13.4)

Уравнение (13.4) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию z рассматриваемой точки сечения от нейтрального слоя. Значит, напряжения распределены по вы-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 ( 84 ) 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282