Главная страница
Форум
Промиздат
Опережения рынка
Архитектура отрасли
Формирование
Тенденции
Промстроительство
Нефть и песок
О стали
Компрессор - подбор и ошибки
Из истории стандартизации резьб
Соперник ксерокса - гектограф
Новые технологии производства стали
Экспорт проволоки из России
Прогрессивная технологическая оснастка
Цитадель сварки с полувековой историей
Упрочнение пружин
Способы обогрева
Назначение, структура, характеристики анализаторов
Промышленные пылесосы
Штампованные гайки из пружинной стали
Консервация САУ
Стандарты и качество
Технология производства
Водород
Выбор материала для крепежных деталей
Токарный резец в миниатюре
Производство проволоки
Адгезия резины к металлокорду
Электролитическое фосфатирование проволоки
Восстановление корпусных деталей двигателей
Новая бескислотная технология производства проката
Синие кристаллы
Автоклав
Нормирование шумов связи
Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
|
Главная --> Промиздат --> Коэффициент поперечной деформации § 78. Вычисление нормальных напряжений при изгибе. Закон Гука и потенциальная энергия при изгибе. А. Возьмём балку, подвергающуюся чистому изгибу парами М (фиг. 182). Пользуясь методом сечения, разрежем балку сечением У-У на 2 части и рассмотрим условия равновесия одной из отсечённых частей, например левой, показанной на фиг. 182 внизу. Для простоты чертежа балка взята прямоугольного сечения. Так как практически искривления балки ничтожны по сравнению с её размерами, то отсечённая часть изображена недеформированной. Линия пересечения плоскости симметрии балки с плоскостью сечения принята за ось Z (положительное направление взято вниз); нейтральная ось сечения принята за ось у, причём положение её по высоте балки пока неизвестно. Ось X взята вдоль нейтрального слоя перпендикулярно к осям у и Z. В каждой точке поперечного сечения действуют нормальные напряжения с. Выделив вокруг любой точки с координатами у и z элементарную площадку dF, обозначим действующую на неё силу dN=a dF. Отсечённая часть балки находится в равновесии под действием внешних сил, образующих пару УИ, и нормальных усилий dN, заменяющих отброшенную часть балки. Для равновесия эта система сил должна удовлетворять шести уравнениям статики. Напишем сначала уравнения проекций на 3 координатные оси х, у, z. Так как проекция пары М на любую ось равна нулю, то эти уравнения дадут равенство нулю суммы проекций нормальных усилий dA на оси. Заменяя суммирование этих усилий по всей площади сечения интегрированием, получим: Л=0; J GdF=0. (13.1) 2К=0 и VZ = 0 обращаются в тождества вида 0 = 0, так как усилия dN=adF проектируются на эти оси в точку. Составим теперь уравнения моментов относительно осей х, у и z. Заметим при этом, что пара М лежит в плоскости xOz и потому моментов относительно осей Ох и Oz не даёт. Mj = 0 обращается в тождество, так как усилия dNodP параллельны оси х: 2Мз, = 0; M-dNZ = 0 или M-odFZ=0 откуда o*zdF=M\ (13.2) VA1, = 0; dNy = 0 или adF*y = 0. (13.3) Таким образом, из шести уравнений равновесия можно использовать только три: Х = 0 или J cdF = 2Му = 0 или azdF= 2M, = 0 или jaydF=0. = 0, (13.Г) (13.20 (13.3) Однако полученных трёх уравнений статики недостаточно для определения величины нормальных напряжений, так как с изменяется в зависимости от расстояния z площадки dF до нейтральной оси по неизвестному пока закону. Это расстояние (Z) тоже неизвестно, так как неизвестно положение нейтральной оси у, Б. Обратимся к рассмотрению деформаций балки, для чего двумя бесконечно близкими сечениями У-/ и 2-2 выделим из неё элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации показан на фиг. 183. Для ясности чертежа деформация элемента показана с сильным преувеличением. Оба поперечных сечения, оставаясь плоски/ кими, повернутся вокруг нейтральных осей (на фасаде точки 0 и 0) и образуют угол da. Нейтральный слой показан пунктиром. Линия OiOj, принадлежащая нейтральному слою, после деформации сохранит свою первоначальную длину dx. Все волокна, лежащие выше нейтраль-HOiO слоя, укорачиваются, а ниже - удлиняются. Фиг. 183.
соте сечения по линейному ) \~ закону. / \ V На нейтральной оси при [ (Нейтральный слой \ z - и а = 0; при переходе в сжатую зону (выше нейтральной оси) о вместе с Z меняет знак на минус (сжатие) и вновь растёт по Фиг. 184. абсолютному значению по мере удаления от нейтральной оси. Следовательно, наибольшего значения напряжения достигнут у верхнего и нижнего краев сечения при -2 =-тах Характер распределения напряжений показан на фиг. 184. Уравнение (13.4) даёт только характер распределения нормальных напряжений по сечению, но им нельзя воспользоваться для вычисления величины их, так как ни р, ни z неизвестны, поскольку неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения. В. Для определения а в зависимости от изгибающего момента обратимся к совместному решению полученного из рассмотрения деформаций уравнения (13.4) и уравнений статики (13.1), (13.2) и (13.3). Найдём удлинение какого-либо волокна АВ, расположенного в расстоянии z от нейтрального слоя и растянутого напряжениями а. Первоначальная длина этого волокна равна dx= 00 = dd. После деформации его длина по дуге АВ стала AB - {-\-z)d(i. Абсолютное удлинение рассматриваемого волокна Ы = -\-z)dx - - pd7. = zd7.. Относительное удлинение равно Z da z ~Jdi~ р т. е. удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя. Здесь р - радиус кривизны нейтрального слоя, величину которого для выделенного (бесконечно малого по длине) элемента можно считать постоянной. Допустив, что при изгибе волокна друг на друга не давят и что каждое волокно испытывает простое (линейное) растяжение или сжатие, - для вычисления напряжений можем воспользоваться законом Гука при растяжении: а = Ег ИЛИ а = -, (13.4) Уравнение (13.4) показывает, что величина нормальных напряжений при изгибе меняется прямо пропорционально расстоянию z рассматриваемой точки сечения от нейтрального слоя. Значит, напряжения распределены по вы- |