ГЛАВА XIII.

ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ И ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ БАЛОК.

§ 77. Экспериментальное изучение работы материала при чистом изгибе.

После изучения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил можно вернуться к вопросу о вычислении нормальных и касательных напряжений по выбран-р а ному сечению. Выше мы выяс-

нили, что нормальные напряжения зависят лишь от изгибающего момента, касательные - лишь от поперечной силы:

=/i(M), (12.1) =Л(0. (12.2) Фиг. 180. Это позволяет нам упро-

стить вычисление о, а именно, провести его для частного случая изгиба балки, когда Q = 0. Полученная формула будет справедлива и в остальных случаях.

Изгиб балки, при котором поперечная сила равна нулю, вполне возможен, если пренебречь собственным весом балки. Для этого необходимо, чтобы система внешних сил, приложенных к отсечённой части балки, приводилась к одной лишь паре сил.

Как пример можно привести изгиб оси железнодорожного вагона (см. § 69). Схема действия сил дана на фиг. 180. Если мы будем брать сечения между точками С и Z), то для любого из этих сечений изгибающий момент и поперечная сила соответственно равны

М (х) = Рлг - Р (л: - а) = Ра = const., Q (дг) = Р - Р = 0.

Таким образом, во всех сечениях средней части оси CD изгибающий момент постоянен, а поперечная сила равна нулю (вспомним,

что Q = V Такой случай изгиба называется чистым изгибом,

ах j

Разрежем эту балку (фиг. 180, а) сечением на расстоянии х от левого конца. На отсечённую часть (фиг. 180, б) будут действовать изгибающий момент М - Ра и одни только нормальные напряжения о. Условие равновесия отсечённой части требует, чтобы эти напряжения а приводились к паре, лежащей в плоскости действия внешних сил - плоскости симметрии балки. Но чтобы найти наиболее напряжённую часть материала, необходимо уметь вычислять напряжения в каждой точке сечения знать распределение напряжений по сечению.

§ 77]

ИЗУЧЕНИЕ РАБОТЫ МАТЕРИАЛА ПРИ ИЗГИБЕ

Условия равновесия нам этого не дают, задача оказывается статически неопределимой, и мы вынуждены обратиться к экспериментальному исследованию деформации балки.

Рассмотрим результаты опыта с чистым изгибом балки парами сил, лежащими в плоскости симметрии балки (фиг. 181).

Проведём до деформации балки на её боковой поверхности близко друг к другу две линии /-/ и 2-2, перпендикулярно к оси балки. Это будут следы

двух смежных поперечных сечений, отстоящих друг от друга на Алг. Проведём между этими сечениями линии аЬ и cd, параллельные оси балки: одну - близко к верхнему, другую - к нижнему краю балки. До деформации ab = cd = Lx,

Опыт показывает, что после деформации (фиг. 181, б):

1) линии 1-1 и 2-2 остались прямыми, но наклонились друг к другу и образуют угол Да;

2) отрезок аЬ укоротился, а отрезок cd удлинился;

3) ширина балки в сжатой зоне увеличилась, а в растянутой - уменьшилась (фиг. 181, в).

Эти экспериментальные результаты позволяют сделать следующие зыводы о характере деформаций балки при чистом изгибе. Так как линии /-/ и 2-2 после деформации остались прямыми, то можно думать, что соответствующие поперечные сечения балки остались плоскими и лишь повернулись одно относительно другого на угол Да.

Судя по изменению длин отрезков аЬ и cd, можно заключить, что (при М положительном) верхние волокна сжаты, а нижние растянуты. Так как деформация волокон меняется непрерывно, то на каком-то уровне по высоте балки мы встретим слой волокон, не изменивших своей длины, так называемый нейтральный слой, т. е. поверхность, разделяющую сжатую зону от растянутой.

На фиг. 181, б нейтральный слой изображён пунктиром; отрезок 00,1 сохранил прежнюю длину Длг.

Наша балка симметрична относительно плоскости внешних сил. Поэтому обе её половины деформируются симметрично относительно .той плоскости. Это позволяет сделать предположение, что деформация волокон любого слоя, параллельного нейтральному, не зависит от их положения по ширине балки.

Нейтральный слой перпендикулярен к плоскости симметрии бейки и пересекает плоскость каждого поперечного сечения балки по прямой, называемой нейтральной осью сечения. Эта ось также перпендикулярна к плоскости симметрии балки.

Повороты сечений происходят вокруг их нейтральных осей, изображённых на фиг. 181 точками Oi и 0. Если бы поворот сечений происходил не около осей, лежащих в нейтральном слое, то отрезок OiO не мог бы сохранить своей первоначальной длины.

Так как сечения поворачиваются вокруг нейтральных осей, перпендикулярных к плоскости действия сил, точки этой плоскости останутся в ней и после деформации; следовательно, ось балки останется в плоскости действия сил, обратившись в плоскую кривую. Изгиб, при котором ось балки после деформации остаётся в плоскости действия внешних сил, называется плоским изгибом.

Наконец, деформации материала балки в направлении её ширины показывают, что волокна её испытывают обычное растяжение или сжатие, при котором имеет место явление, учитываемое коэффициентом Пуассона: в сжатой зоне ширина сечения балки увеличивается, в растянутой - уменьшается (фиг. 181, в).

Экспериментальные исследования изгиба балок дают основание для ряда допущений, положенных в основу дальнейших выводов:

1. При чистом изгибе поперечные сечения, бывшие плоскими до деформации, остаются плоскими и во время деформации (так называемая гипотеза плоских сечений).

2. Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений испытывают простое линейное растяжение или сжатие.

3. Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

Помимо этих допущений, введём ещё три ограничения:

1. Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

2. Материал балки подчиняется закону Гука, причём модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

3. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Из опыта известно, что балки с малой шириной сечения легко теряют устойчивость плоской формы при изгибе (скручиваются). При отношении высоты прямоугольного сечения балки к её пролёту yl-g- она работает не как балка, а как пластинка, и условия её расчёта изменяются.

Сделанные выше предположения в обычных случаях изгиба верны только приблизительно. Однако вытекающие из них погрешности теории так невелики (за исключением особых случаев), что ими можно пренебречь.