= или Axi = H-yii;

но произведение Axi = Mi. Следовательно,

Нетрудно также доказать (из рассмотрения треугольников, образуемых продолжением вертикали 2-2 со сторонами верёвочного многоугольника и подобных им в многоугольнике сил), что

AXi - Pi (лга - fli) = Я . 7]2 или Ж2 = Я

и вообще

Л1(лг) = Я.7]. (12.20)

Иначе говоря, изгибающий момент в любом сечении балки равен произведению полюсного расстояния Н, взятого в масштабе сил, на ординату i\ верёвочного многоугольника в том же сечении, измеренную в масштабе длин. Значит, верёвочный многоугольник представляет собой эпюру М, ординаты которой т] отсчитываются

по вертикали от наклонной замыкающей и равны 7] = - .

Чтобы придать эпюре М обычный вид, можно её перестроить, откладывая те же ординаты т] от горизонтальной нулевой оси. Если опорные реакции А и В подсчитаны аналитически, то, поместив полк)с на горизонтали, отделяющей Л от в многоугольнике сил, сразу получим замыкающую горизонтальной (параллельной горизонтальному лучу А - В),

Построение эпюры Q ясно из чертежа. Проведя прямую, параллельную нулевой оси, на расстоянии (в масштабе* сил), равном крайней левой силе (реакции А), сносим затем (сохраняя масштаб) все остальные силы по линии и по направлению их действия, как это показано на фиг. 177. Получим ступенчатую эпюру поперечных сил.

ный) должны быть замкнуты. Поэтому, вычертив в поле сил линии, параллельные лучам силового многоугольника, проводим, как этого требуют известные правила механики, между крайними линиями а-1 и 3 - р замыкающую верёвочного многоугольника А-В.

Проводя затем в многоугольнике сил луч АВ, параллельный замыкающей, получим отрезки аЬ и be, представляющие в масштабе сил опорные реакции А и В.

Если провести вертикаль через сечение балки /-7 до пересечения со сторонами верёвочного многоугольника, то получим ординату iqi, образующую со сторонами а - 1 и АВ треугольник, подобный треугольнику ОаЬ в силовом многоугольнике. Из подобия треугольников можно написать:

каждая ордината которой if]Q = Q(x) имеет тот же масштаб, что и многоугольник сил.

В случае, если балка загружена сплошной нагрузкой (фиг. 178), графическое построение эпюр М и Q может быть выполнено лишь приближённо. Разделяя сплошную нагрузку вертикалями на несколько частей и заменяя каждую часть равнодействующей (равной соответствующей грузовой площади О)), строим эпюры Ж и Q с помощью силового и верёвочного многоугольников для системы сосредоточенных сил 0)1, 00.2, (Оз и т. д., как это было сделано выше. Эпюра Q получится ступенчатой, а эпюра М - в виде ломаного многоугольника.

Чтобы привести полученные графики к виду, отвечающему истинному очертанию эпюр Ж и Q, следует: а) для эпюры М вписать в верёвочный многоугольник кривую, так как в пределе, при бесконечном увеличении числа равнодействующих сил верёвочную кривую

Фиг. 178.

to, верёвочный многоугольник обращается в и касается многоугольных участков в точках деления;

б) для эпюры Q заменить ступенчатую эпюру одной линией, проходящей через точки, в которых горизонтальные участки эпюры Q пересекаются с вертикалями, разбивающими нагрузку на части.

Особенностью графического построения эпюры изгибающего момента для консоли является то, что замыкающая АВ заменяется продолжением первого луча а-1, от которого и ведутся отсчёты ординат 7] (фиг. 178). Выбрав в этом случае положение полюса О так, чтобы первый луч был горизонтален, сразу получаем эпюру М, приведённую к горизонтальной оси.

Пример 55. Построить графическим способом эпюры М и Q для балки, изображённой на фиг. 179. Найденные графическим путём значения max М и max Q проверить аналитическим подсчётом.

§ 76]

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР М Q

Для графического построения эпюр М и Q вычертим балку в масштабе. По удобству размещения чертежа примем масштабы:

длин - в 1 м\

сил -в 1 см-2 т.

Полюсное расстояние принято равным 3 см. Следовательно, в масштабе сил И -6 т. В принятых масштабах вычерчена балка, силовой и верёвочный многоугольники и эпюра поперечных сил (фиг. 179).

Наибольшая ордината верёвочного многоугольника f\j расположена в сечении под силой Ра. Измерив её в масштабе длин, находим: tjjjjj = 1,75 ж. Отсюда наибольший изгибающий момент:

тахМ = . y] =

= 6 . 1,75=10,5 тм. 1

Наибольшая поперечная сила равна реакции левой опоры А, которая, будучи измерена в масштабе сил, оказалась равной А = 5,3 т.

Чтобы оценить точность графического построения эпюр М и проверим аналитически величины тахМ и maxQ. Составив уравнение моментов относительно точки В, найдём:

Фиг. 179.

Отсюда:

VA4 = 0; А/~Р,(1--а,) Р,(1-а,)-Р,{1-а,) = 0.

А= ~[P,{l-aO + P2{l-a2) + P,(l-a,)\=

= [2 . 5 + 5 . 3,5 + 3 . 1,5] = 5,34 г.

Расхождение с графическим решением составляет . 100 = 0,80/9.

0,о4

Изгибающий момент в сечении под силой Р равен: max М = Л . Ла - Pi {а. - а) = 5,34 .2,5 - 2 (2,5 - 1,0) = 10,75 тм.

Расхождение против графического решения 2,Зо/о. Такая точность для практических целей достаточна.