Обратим внимание на то, что в сечении, где приложена пара сил, на эпюре изгибающих моментов получается скачок на величину момента этой пары;

Ма , Mb

§ 73. Построение эпюр Q и Л! для более сложных случаев

нагрузки.

Изучив общий метод построения эпюр и их свойства, перейдём к решению более сложных задач.

Рассмотрим, как вычислить Q и Ж, когда на балку действует сплошная неравномерно распределённая нагрузка, интенсивность которой меняется по длине балки в зависимости от х (фиг. 165). Иначе говоря, q есть функция от g X или q - q (х). Поперечная сила у, и изгибающий момент также будут некоторыми функциями от х:

М = М{х) и Q = Q{x\

Фиг. 165. Кривая adceb, показывающая за-

кон изменения q (х), называется грузовой линией, а площадь, ограниченная этой кривой, - грузовой площадью.

Вычислим Q и Ж в любом сечении балки, взятом на расстоянии Xi от свободного конца. Рассматривая поперечную силу как сумму элементарных сил q (х) dx, приложенных к левой отсечённой части балки, и заменяя суммирование интегрированием, найдём:

Q (Xi) = - j (X) flfx = ~ J flfo) = - О) (Xi). (12.1

Здесь через (jd(Xi) обозначена часть грузовой площади, расположенная левее взятого сечения с-С. (Следовательно, поперечная сила Q(xi), равная равнодействующей сплошной нагрузки, лежащей на участке AC = Xi, может быть вычислена как грузовая площадь О) (xj), лежащая по одну сторону от сечения.

Изгибающий момент в том же сечении, равный сумме моментов элементарных сил q (х) dx, действующих на отсечённую часть балки, относительно точки С, может быть вычислен и как момент равнодействующей Ry т. е.

Ж (хО = - R.x, = - o> (xi). лг,. (12.13)

Иначе говоря, изгибающий момент от неравномерно распределённой нагрузки равен произведению грузовой площади, лежащей

нение

Момент нагрузки равен моменту её равнодействующей, т. е. площади всей у

нагрузки, умноженной на расстоя-

ние до её центра тяжести от конца В, Равнодействующая изображена на фиг. 166 пунктиром; этим подчёркивается, ф 166

что сосредоточенная сила, равная

грузовой площади w = y ql, в действительности к балке не приложена и что мы ею пользуемся для вычисления суммы моментов всей нагрузки только при определении реакций. Уравнения моментов будут иметь вид:

VAJ5 = 0; Л/ -а)-/ = 0; Л = -а)=-

2:Л1л = 0; -5/ + а).4 = 0; 5 = 1(0=

Таким образом, на опору А передаётся две трети всей нагрузки

ш = , а на опору В - одна треть.

Для построения эпюр возьмём сечение на расстоянии х от правого конца балки. Ордината нагрузки в этом сечении q{x) определяется из подобия треугольников:

- -7, qW-9oj.

по одну сторону от сечения, на расстояние от центра тяжести этой площади до рассматриваемого сечения (плечо равнодействующей).

Пример 48. Рассмотреть построение эпюр при действии сплошной нагрузки, изменяющейся по длине балки по закону треугольника (фиг. 166).

Под такой нагрузкой работают балки, поддерживающие давление воды или земли, например, стойки плотин, стойки, подкрепляющие стенки резервуаров, предназначенных для хранения жидкостей. Подобным же образом нагружаются силами инерции шатуны паровых машин и двигателей внутреннего сгорания.

Величина этой нагрузки определяется ординатой - наибольшей интенсивностью нагрузки (в кг1м), Реак- , ция На = 0; определим реакции А и В, к \r~fi0,577l- Для нахождения А составим YP-i V. j ие моментов относительно точки В, -у- 1 ihhl

Для вычисления Q и Ж будем рассматривать правую часть балки, так как на неё действуют сосредоточенная сила и треугольная нагрузка, в то время как на левую часть действуют сила и трапецоидальная нагрузка, что даст более сложные вычисления.

Поперечная сила Q будет равна сумме проекций на вертикаль реакции Б и заштрихованной нагрузки (й(х) = д {х)х =

= Тот т. е.

В данном случае эпюра поперечных сил изображается кривой второго порядка, причём

при х = 0 Q = - = -B\

2> X

-2 6

4 Г~ 24

Очертание эпюры Q дано на фиг. 166. Из этой фигуры видно, что наибольшее значение (по абсолютной величине) поперечная сила получает в сечении А (у опоры):

= +Л = + т-

Через нуль поперечная сила переходит при jcq, определяющемся из уравнения

Хо = - = 0,577/.

Это значение Xq будет использовано нами для определения максимума М. Наконец, аналитического минимума поперечная сила достигает в точке By где интенсивность сплошной нагрузки равна нулю. Как это следует из уравнения (12.3), касательная к эпюре поперечных сил в этом сечении параллельна оси абсцисс.

Перейдём к построению эпюры Ж, для чего опять рассмотрим правую отсечённую часть балки. Момент относительно точки О равнодействующей заштрихованной (фиг. 166) треугольной нагрузки

равен её грузовой площади, умноженной на плечо ~: - io{x)-x = - q{x)-x = -

Изгибающий момент в проведённом сечении равен:

М = + Вх-

дох до1 6/ 6

дох1(. хЛ