Отметим, что для этой балки мы построили эпюры Q и М без определения опорных реакций.

Пример 45. Построим эпюры моментов и поперечных сил для балки, изображённой на фиг. 162, нагружённой сплошной равномерно распределённой нагрузкой интенсивности q (выражаемой в kzjm, т/мит, п.).

Здесь необходимо начать с определения опорных реакций.

Реакция Н равна нулю, реакции же Л и В по симметрии равны; каждая из них равна половине всей лежащей на.балке нагрузки;

А = В = %.

Возьмём сечение О на расстоянии X от левого конца балки. Оставим для вычисления Q и М левую часть. На неё действуют реакция А и равномерно распределённая по длине X нагрузка q.

Для определения поперечной Фиг. 162.

силы в сечении О нужно взять

сумму сил, приложенных к левой отсечённой части балки. Слева от сечения лежит сила Л = у, направленная вверх, и равнодействующая равномерно распределённой нагрузки, расположенной на длине х, равная qx и направленная вниз. Следовательно,

Q = A-qx = -qx.

Поперечная сила меняется с изменением х по закону прямой )1инии, для построения которой дадим переменной х два значения:

при х = 0 Q = %- и при х = 1 Q = -

Эпюра поперечных сил дана на фиг. 162; тах(5 = у.

Для построения эпюры М составим сумму моментов тех же сил, приложенных к рассматриваемой части балки, относительно точки О. Имея в виду, что равнодействующая qx приложена посредине от-

резка длиной х и плечо относительно точки О равно у, получим:

M = -Ax-qx = -x-~f = -{l-x).

Это уравнение моментов пригодно для вычисления изгибающего момента в любом сечении балки.

В данном случае величина изгибающего момента зависит от квадрата абсциссы х, следовательно, очертание эпюры представляет собой кривую - квадратную параболу. Для построения этой кривой наметим по крайней мере три-четыре точки её. Имеем; при х = 0 Ж = 0;

/ л, gl f, l\ Sgi

4 2-4 У 4j 32 x = l M = 0.

Эпюра моментов получает вид, показанный на фиг. 162. Для нахождения Жщах найдём абсциссу лго соответствующего сечения, приравнивая нулю производную от М по х:

(Ш ql 2дхо

dx~~ 2 2

откуда

X, = -i и Ж ,ах = + Ч

(12.11)

Наибольший изгибающий момент имеет место посредине пролёта, т. е. в том сечении, где Q = 0, что является следствием установленной выше (§ 71) зависимости между М{х) и Q{x),

Пример 46. Построить эпюры для балки, нагружённой равно--мерно распределённой нагрузкой q и защемлённой одним концом в стену.

Таблица 18. Данные к примеру 46.

Фиг. 163.

Здесь можно построить эпюры Q и М без определения опорных реакций. Рассматривая левую отсечённую часть (фиг. 163), получим;

Q = -qx, Ж = Результаты вычислений сведены в таблицу 18.

§ 72] ЭПЮРЫ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ и ПОПЕРЕЧНЫХ сил Эпюры даны на фиг. 163; из неё видно, что Мш\п = - Ту min = ~

в этом случае наибольшее по абсолютной величине значение изгибающего момента соответствует не аналитическому максимуму =oj,a имеет место в заделке, как это видно из эпюры моментов.

Это, однако, не противоречит дифференциальной зависимости

(12.4), так как поперечная сила Q = ~ равна нулю именно в том

сечении, где кривая моментов имеет аналитический максимум (вершина параболы с уравнением М{х)=:

qj

-2) Л,

Пример 47. Рассмотреть балку, нагружённую парой сил с моментом М (фиг. 164).

Реакция Н равна нулю. Реакции Ал В образуют пару с плечом /, уравновеши- М вающую момент Ж; они равны по вели- I чине и направлены в разные стороны:

л = в = .

в этом нетрудно убедиться из уравнений статики, взяв, например, сумму моментов относительно точки В:

2Ал = 0; Д./ -Ж = 0.

Выражения для Q(x) и М{х) составим отдельно для каждого участка. Для первого участка между сечениями Л и С

Qi = A = y; Ж, = + Лх1 = + xf,

при Xi = 0 Ж1 = 0; при Xi = a Mi = -j-a. Для второго участка между сечениями С и В

Q = B = -j\ Ж2 = - Вх = ~Т 2

при 2 = 0 Ж2 = 0; при х = Ь М< =--jb.

Эпюры Q и Ж показаны на фиг. 164; из них получаем:

Жшш= -(ПРИ >а); Qmax = + y.

Фиг. 164.