Нефть и песок О стали Компрессор - подбор и ошибки Из истории стандартизации резьб Соперник ксерокса - гектограф Новые технологии производства стали Экспорт проволоки из России Прогрессивная технологическая оснастка Цитадель сварки с полувековой историей Упрочнение пружин Способы обогрева Назначение, структура, характеристики анализаторов Промышленные пылесосы Штампованные гайки из пружинной стали Консервация САУ Стандарты и качество Технология производства Водород Выбор материала для крепежных деталей Токарный резец в миниатюре Производство проволоки Адгезия резины к металлокорду Электролитическое фосфатирование проволоки Восстановление корпусных деталей двигателей Новая бескислотная технология производства проката Синие кристаллы Автоклав Нормирование шумов связи Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
Главная --> Промиздат -->  Коэффициент поперечной деформации 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 ( 74 ) 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282

§ 71]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ

§ 71. Дифференциальные зависимости между интенсивностью сплошной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

Мы выяснили (§ 70), что внешние силы в любом сечении балки приводятся к силе Q и паре с моментом Ж. Следовательно, для равновесия отсечённой части необходимо, как мы уже установили, чтобы и внутренние силы

I i

привелись к такой же силе Q и моменту М.

Поэтому, если из балки (фиг. 158) вырезать элемент бесконечно малой длины dx, то он должен находиться в равновесии под действием части сплошной нагрузки с интенсивностью q (которую на длине dx можно считать постоянной), а также сил Q и Qi и моментов М и Ml, заменяющих действие на него соответственно левой и правой отброшенных частей ). Заметим, что Qi = Q-\.dQ и Mi = = Л14-Ж, так как приращения этих величин при переходе от сечения тп к бесконечно близкому сечению mini - также бесконечно малые величины.

Условия равновесия выделенного элемента напишутся так:

2К=0; Q + qdx-{Q-dQ) = 0,

2:Жо = 0; M + Qrfj + rfjc. -(Ж + АЖ) =0. Из первого уравнения имеем:

qdx - dQ = 0,

откуда

dJ = 4

ТУТТТГ Фиг. 158.

(12.3)

т. е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности сплошной нагрузки в том же сечении.

Из второго уравнения, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка малости, получим:

(12.4)

Qrfx -Ж = 0, или2=р.

О В пределах участка dx не приложено сосредоточенной силы или пары сил.



т. е. производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе в том же сечении.

Взяв производную от обеих частей равенства (12.4), получим:

или-7-5=<7, (12.5)

dx dx dx

т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе равна интенсивности сплошной нагрузки. Если q направлено вниз,

то уравнение (12.5) будет: = - Я-

Полученные зависимости могут быть использованы при построении эпюр Q и М, особенно если учесть, что производная функции геометрически представляет собой тангенс угла наклона, образуемого с осью абсцисс, касательной в данной точке кривой. Иначе говоря, поперечная сила в данном сечении может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре М в точке, соответствующей этому сечению. Поэтому надо иметь в виду, что если

ось X направлена справа налево, то = - Q, так как угол наклона

касательной меняет знак при изменении направления оси абсцисс.

Из уравнения (12.3) следует, что в том сечении, где интенсивность нагрузки = 0, поперечная сила Q = Qmax или Q = Qmin, так

как если = = 0, то касательная к эпюре Q параллельна оси

абсцисс. По той же причине из формулы (12.4) следует другое, более важное заключение, что изгибающий момент достигнет максимума

(или минимума) в том сечении, где Q = = 0, т. е. в сечении, где

поперечная сила переходит через нуль.

Хотя уравнение (12.4) даёт возможность получить выражение для Q, как производной от Ж, однако при построении эпюр следует определять Q независимо, используя уравнение (12.4) только для проверки. Так же для проверки правильности построения эпюры Ж может быть использовано уравнение (12.5), поскольку знаком второй производной определяется направление выпуклости кривой, по которой очерчена эпюра Ж. Указания о проверке правильности построения эпюр Q и Ж даны ниже (§ 74).

§ 72. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Пример 43. Построить эпюры моментов и поперечных сил для балки, лежащей на двух опорах и нагружённой силой Р (фиг. 159).

Для вычисления Ж и Q в любом сечении этой балки прежде всего необходимо отыскать реакции. На фиг. 159 намечено предполагаемое направление этих реакций Л, На и В.

Из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на ось балки получаем, что



Этот результат можно было предвидеть заранее, так как нагрузки перпендикулярны к оси балки.

Составляя сумму моментов сил относительно точки В, получаем:

2Mfi = 0; -Р = 0

л = + Ц.

Точно так же

2Жл = 0; -В1-Ра =

в = -\-Щ.

Для проверки правильности полученных результатов составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось у:

Л -р + Б = 0, или АВ = Р,

Подставляя значение найденных реакций, получим:

РЬ . Ра Р{а + Ь) п I ~ I ~ I

что удовлетворяет условию равновесия. Такую проверку всегда необходимо производить, так как ошибка в определении реакций неизбежно поведёт к ошибкам и в построении эпюр Q ]л М,

Для получения выражений, дающих нам величины поперечной силы и изгибающего момента в любом сечении балки, возьмём какое-либо сечение / - 1 между точками Л и С на расстоянии Xi от конца Л. Заметим, что выражение взять сечение требует не только обозначить это сечение на чертеже, но и обязательно отметить его расстояние от выбранного начала координат. Центр тяжести проведённого сечения обозначен через Ох.

Для вычисления поперечной силы Q в этом сечении удобнее рассмотреть левую отсечённую часть, так как к ней приложено меньше сил (только

сила Л). Рассматривая часть балки слева от сечения Oj и проектируя приложенные к ней внешние силы на перпендикуляр к оси балки, получаем выражение для поперечной силы Qi в сечении на расстоянии Хх от опоры Л:

р1 = + Л = . (12.6)

1,-щ


Фиг. 159.

Ра I



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 ( 74 ) 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282