Главная страница
Форум
Промиздат
Опережения рынка
Архитектура отрасли
Формирование
Тенденции
Промстроительство
Нефть и песок
О стали
Компрессор - подбор и ошибки
Из истории стандартизации резьб
Соперник ксерокса - гектограф
Новые технологии производства стали
Экспорт проволоки из России
Прогрессивная технологическая оснастка
Цитадель сварки с полувековой историей
Упрочнение пружин
Способы обогрева
Назначение, структура, характеристики анализаторов
Промышленные пылесосы
Штампованные гайки из пружинной стали
Консервация САУ
Стандарты и качество
Технология производства
Водород
Выбор материала для крепежных деталей
Токарный резец в миниатюре
Производство проволоки
Адгезия резины к металлокорду
Электролитическое фосфатирование проволоки
Восстановление корпусных деталей двигателей
Новая бескислотная технология производства проката
Синие кристаллы
Автоклав
Нормирование шумов связи
Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
|
Главная --> Промиздат --> Коэффициент поперечной деформации § 71] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ § 71. Дифференциальные зависимости между интенсивностью сплошной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом. Мы выяснили (§ 70), что внешние силы в любом сечении балки приводятся к силе Q и паре с моментом Ж. Следовательно, для равновесия отсечённой части необходимо, как мы уже установили, чтобы и внутренние силы I i привелись к такой же силе Q и моменту М. Поэтому, если из балки (фиг. 158) вырезать элемент бесконечно малой длины dx, то он должен находиться в равновесии под действием части сплошной нагрузки с интенсивностью q (которую на длине dx можно считать постоянной), а также сил Q и Qi и моментов М и Ml, заменяющих действие на него соответственно левой и правой отброшенных частей ). Заметим, что Qi = Q-\.dQ и Mi = = Л14-Ж, так как приращения этих величин при переходе от сечения тп к бесконечно близкому сечению mini - также бесконечно малые величины. Условия равновесия выделенного элемента напишутся так: 2К=0; Q + qdx-{Q-dQ) = 0, 2:Жо = 0; M + Qrfj + rfjc. -(Ж + АЖ) =0. Из первого уравнения имеем: qdx - dQ = 0, откуда dJ = 4 ТУТТТГ Фиг. 158. (12.3) т. е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности сплошной нагрузки в том же сечении. Из второго уравнения, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка малости, получим: (12.4) Qrfx -Ж = 0, или2=р. О В пределах участка dx не приложено сосредоточенной силы или пары сил. т. е. производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе в том же сечении. Взяв производную от обеих частей равенства (12.4), получим: или-7-5=<7, (12.5) dx dx dx т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе равна интенсивности сплошной нагрузки. Если q направлено вниз, то уравнение (12.5) будет: = - Я- Полученные зависимости могут быть использованы при построении эпюр Q и М, особенно если учесть, что производная функции геометрически представляет собой тангенс угла наклона, образуемого с осью абсцисс, касательной в данной точке кривой. Иначе говоря, поперечная сила в данном сечении может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре М в точке, соответствующей этому сечению. Поэтому надо иметь в виду, что если ось X направлена справа налево, то = - Q, так как угол наклона касательной меняет знак при изменении направления оси абсцисс. Из уравнения (12.3) следует, что в том сечении, где интенсивность нагрузки = 0, поперечная сила Q = Qmax или Q = Qmin, так как если = = 0, то касательная к эпюре Q параллельна оси абсцисс. По той же причине из формулы (12.4) следует другое, более важное заключение, что изгибающий момент достигнет максимума (или минимума) в том сечении, где Q = = 0, т. е. в сечении, где поперечная сила переходит через нуль. Хотя уравнение (12.4) даёт возможность получить выражение для Q, как производной от Ж, однако при построении эпюр следует определять Q независимо, используя уравнение (12.4) только для проверки. Так же для проверки правильности построения эпюры Ж может быть использовано уравнение (12.5), поскольку знаком второй производной определяется направление выпуклости кривой, по которой очерчена эпюра Ж. Указания о проверке правильности построения эпюр Q и Ж даны ниже (§ 74). § 72. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Пример 43. Построить эпюры моментов и поперечных сил для балки, лежащей на двух опорах и нагружённой силой Р (фиг. 159). Для вычисления Ж и Q в любом сечении этой балки прежде всего необходимо отыскать реакции. На фиг. 159 намечено предполагаемое направление этих реакций Л, На и В. Из условия равенства нулю суммы проекций всех сил на ось балки получаем, что Этот результат можно было предвидеть заранее, так как нагрузки перпендикулярны к оси балки. Составляя сумму моментов сил относительно точки В, получаем: 2Mfi = 0; -Р = 0 л = + Ц. Точно так же 2Жл = 0; -В1-Ра = в = -\-Щ. Для проверки правильности полученных результатов составим сумму проекций всех сил на вертикальную ось у: Л -р + Б = 0, или АВ = Р, Подставляя значение найденных реакций, получим: РЬ . Ра Р{а + Ь) п I ~ I ~ I что удовлетворяет условию равновесия. Такую проверку всегда необходимо производить, так как ошибка в определении реакций неизбежно поведёт к ошибкам и в построении эпюр Q ]л М, Для получения выражений, дающих нам величины поперечной силы и изгибающего момента в любом сечении балки, возьмём какое-либо сечение / - 1 между точками Л и С на расстоянии Xi от конца Л. Заметим, что выражение взять сечение требует не только обозначить это сечение на чертеже, но и обязательно отметить его расстояние от выбранного начала координат. Центр тяжести проведённого сечения обозначен через Ох. Для вычисления поперечной силы Q в этом сечении удобнее рассмотреть левую отсечённую часть, так как к ней приложено меньше сил (только сила Л). Рассматривая часть балки слева от сечения Oj и проектируя приложенные к ней внешние силы на перпендикуляр к оси балки, получаем выражение для поперечной силы Qi в сечении на расстоянии Хх от опоры Л: р1 = + Л = . (12.6) 1,-щ Фиг. 159. Ра I |