в результате сложения вместо сил Л и Pj мы получим силу Q, приложенную в центре тяжести сечения, и пару с моментом Ж; величины Ж и Q определяются формулами:

M = Ax - Pi{x - ai\ Q=A-Pi.

Момент пары, приложенной к оставленной части балки, называется изгибающим моментом в выбранном сечении; можно также считать, что изгибающий момент - это момент системы сил, заменяющих в данном сечении действие отброшенной части балки на её оставшуюся часть.

Изгибающий момент М равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части балки, относительно центра тяжести проведённого сечения. Сила Q, стремящаяся сдвинуть оставленную часть балки относительно отброшенной, называется поперечной (или перерезывающей) силой в данном сечении.

Поперечную силу Q можно также рассматривать как проекцию на плоскость сечения равнодействующей системы сил, заменяющих в данном сечении действие отброшенной части балки на оставшуюся её часть.

Поперечная сила Q равна сумме проекций всех внешних сил, приложенных к оставленной части балки, на нормаль к её оси. Таким образом, Ж и Q совместно заменяют систему внешних сил, приложенных к рассматриваемой части балки, и уравновешивают систему усилий, передающихся через проведённое сечение со стороны отброшенной части балки.

Заметим, что при действии на балку только сил, перпендикулярных к её оси, можно говорить о поперечной силе, как об алгебраической сумме сил, приложенных к оставленной части балки. Важно отметить, что Ж и Q надо рассматривать при этом определении вместе, ибо они представляют собой систему стандартного вида, заменяющую систему А и Р, приложенную к рассматриваемой части балки. Эти определения дают ответ на вопрос, как вычислить Ж и Q по данным внешним силам.

При вычислении Ж и Q в приведённом примере мы рассматривали левую часть балки, но во многих случаях будет удобнее для вычислений рассматривать правую часть и отбросить левую. Установим связь между значениями Ж и Q для левой и правой частей балки.

По фиг. 154 на часть балки слева от сечения тп действует система внешних сил Л, Pf, на правую часть - система Р, Р и В,

Так как вся балка в целом (фиг. 154) находится в равновесии, то система сил Л и Pj должна уравновешивать систему сил Р, Р и В. Первая система заменена силой Q, приложенной к точке О и направленной вверх, и парой Ж, вращающей по ходу часовой стрелки; поэтому система Ра, Рз и после приведения к центру тяжести

рассматриваемого сечения должна замениться такой же силой Q, приложенной в точке О, но направленной вниз (фиг. 154), и парой М, вращающей против хода часовой стрелки.

Значит, если мы рассматриваем правую часть балки, то получим для Ж и Q те же величины, что и при рассмотрении левой части, но направления их бу- .

0 0-

1-х-

-0 о

дут противоположны.

Чтобы получать для изгибающего момента и поперечной силы одни и те же значения не только по величине, но и по знаку, независимо от выбора правой или левой части балки, мы условимся считать положительными: М-по часовой стрелке и Q - вверх, если при вычислениях рассматривается левая часть балки, и обратно, М - против часовой стрелки и Q - вниз, если рассматривается правая часть. Это условие показано на фиг. 154. При таком выборе знаков мы будем для каждого сечения балки получать одинаковые значения Л1 и Q, независимо от выбора при вычислениях левой или правой половины балки.

Знаки для Ж и Q можно связать с характером деформации балки при действии внешних сил. Если изгибающий момент в сечении тп положителен, то балка в этом сечении гнётся выпуклостью внич (фиг. 155, а); если же он отрицателен, то балка гнётся выпуклостью

Фиг. 154.

Фиг. 155.

Фиг. 156.

Фиг. 157.

вверх (фиг. 155, б), В сечении, где Ж переходит через нуль, кривизна балки меняет своё направление, т. е. ось балки в этом сечении имеет точку перегиба.

На фиг. 156 изображён характер деформаций в сечении тп при действии положительной и отрицательной поперечных сил.

Теперь мы можем перейти к вопросу о выражении напряжений а и X через М и Q. На фиг. 157 вновь изображена часть балки, раньше показанная на фиг. 152 и 154. Разница в том, что вместо

внешних сил Л и Р к рассматриваемой части приложены пара М и сила Q. Напряжения опт, заменяюш.ие действие правой отброшенной части, должны уравновесить эту систему внешних сил.

Нормальные напряжения о не могут уравновесить силы Q, так как направлены перпендикулярно к ней. Но они могут сложиться в пару, уравновешивающую изгибающий момент Ж, так как направлены параллельно плоскости симметрии балки, в которой лежит Ж. Таким образом, нормальные напряжения о зависят только от Ж.

С другой стороны, касательные напряжения т не могут уравновесить пару Ж, так как они лежат в плоскости тп, перпендикулярной к плоскости действия изгибающего момента; силу же Q они могут уравновесить, так как лежат в той же плоскости тп, что и она.

Таким образом, приходим к выводу: поперечная сила Q уравновешивается только касательными усилиями, сумма которых должна быть равна и противоположна силе Q. Следовательно:

а=Л(Ж), (12.1)

T=A(Q). (12.2)

Вывод формул (12.1) и (12.2) достаточно произвести только один раз для какого-нибудь сечения балки. В дальнейшем этими выражениями можно пользоваться для любого сечения, стоит только найги для него значения Ж и Q.

Напряжения о и т будут тем ббльшими, чем больше М и Q; так как для проверки прочности материала необходимо найти наибольшие значения этих напряжений, то мы должны отыскать те сечения балки, для которых значения изгибающего момента и поперечной силы достигают максимума. Отысканию этих опасных сечений очень помогает построение так называемых эпюр изгибающих моментов и поперечных сил, т. е. графиков, которые показывают, как меняются для различных сечений балки величины Ж и Q в зависимости от изменения переменной х.

Таким образом, поперечная сила Q(x) и изгибающий момент Ж(д:) являются функциями от х. Для краткости в дальнейшем будем их обозначать Q и Ж, сохраняя значок {х) лишь в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что Q и Ж - величины переменные, зависящие от х. При построении эпюр откладывают под каждым сечением от оси абсцисс, проведённой параллельно оси балки, ординаты, которые в выбранном масштабе изображают величину изгибающего момента или поперечной силы в этом сечении. Ниже (§ 72) мы покажем построение этих эпюр на примерах.

Построение эпюр Q и Ж может быть облегчено, если будут установлены некоторые зависимости между значениями поперечной силы и изгибающего момента в любом сечении балки, а также связь этих величин Q и Ж с приложенной к балке нагрузкой.

Отыскание этих зависимостей между нагрузкой, поперечной силой и изгибающим моментом дано в следующем параграфе.