Так как деформации балок обычно весьма малы и напряжения лежат в пределах упругости, надо установить, допускает ли устройство опор балки хотя бы небольшой поворот или перемещение; этого уже достаточно, чтобы считать опору шарнирной или подвижной. Если конец металлической или деревянной балки заложен в кирпичную стену на небольшую глубину, то можно считать вполне возможным незначительные повороты этого конца н, стало быть, принять его при расчёте за шарнирный.

Таким образом, приступая к определению опорных реакций балки, необходимо схематизировать опорные части, заменяя действительную конструкцию наиболее приближающейся к ней схемой (фиг. i 146 и 147).

В качестве примера рассмотрим работу вагонной оси (фиг. 150, а). В точках А и В иа ось передаются давления Р от кузова вагона; в точках же С и D эти давления передаются рельсам. Мы можем рассматривать ось как балку (фиг. 150, б), нагружённую силами Р в точках Л и и имею-щую опоры в точках С и D. Спрашивается, к какой типовой схеме следует отнести эти опоры?

Необходимо выяснить, чему мешает и что разрешает конструктивное устройство этих опор. Пренебрегая трением между колесом и рельсом в поперечном направлении и учитывая наличие реборд, можем сказать, что эти опоры:

1) препятствуют перемещениям точек С и D оси в вертикальном направлении;

2) препятствуют перемещениям всей оси в горизонтальном направлении;

3) допускают относительное сближение или удаление этих точек;

4) допускают повороты опорных сечений оси.

Этим условиям можно удовлетворить, поставив в одной из точек С и D шарнирно-неподвижную, а в другой - шарнирно-подвижную опору, как схематически показано на фиг. 150, б.

Для определения опорных реакций в статически определимых балках мы будем пользоваться тремя уравнениями равновесия. При этом за ось X будем принимать ось балки, за начало координат - центр одного из опорных шарниров, а ось у будем направлять вертикально вверх.

Сначала составляем условие равенства нулю суммы проекций сех сил на ось х - для определения горизонтальной составляющей опорной реакции.

Фиг. 150.

Вертикальные составляющие и опорный момент определяем, составляя два условия равенства нулю суммы моментов всех сил относительно двух каких-либо точек балки, обычно относительно центров тяжести опорных сечений балки. Условие равенства нулю суммы проекций сил на ось у лучше оставить для проверки правильности вычислений: оно должно обращаться в тождество при подстановке в него определённых уже величин опорных реакций.

Для балок с промежуточными шарнирами рассматриваем сначала равновесие подвесных балок, как двухопорных балок, и находим их реакции. Эти реакции уравновешивают давления, передающиеся через шарниры от подвесных балок на основные. Зная давления, находим реакции основных балок (см. § 73).

§ 70. Характер напряжений в балке. Изгибающий момент и поперечная сила.

Выбор расчётной схемы и вычисление опорных реакций завершают первую часть задачи о расчёте балки - определение внешних сил, действующих на балку.

Теперь можно перейти к отысканию напряжений в сечениях балки; это будет следующим шагом в решении задачи об изгибе. В качестве объекта для рассуждений возьмём балку (фиг. 151), шарнирно-опёртую по концам и нагружённую силами Р, Р,

Реакция На при заданной системе нагрузок равна нулю, реакции же А и В определяются из уравнений моментов; таким образом, внешние силы известны.

При вычислении напряжений необходимо отыскать опасное сечение балки, через которое передаются наибольшие напряжения. Для этого мы должны получить формулы, позволяющие вычислить напряжения по любому сечению (например, наклонному сечению 2-2); после этого можно будет найти и опасное сечение и наибольшие напряжения.

Сначала научимся вычислять напряжения по сечениям, перпендикулярным к оси; затем - по сечениям, параллельным оси, и уже потом- по любым сечениям. Возьмём перпендикулярное к оси сечение тп с центром тяжести О на расстоянии х от левого опорного конца. Для вычисления напряжений по этому сечению отбросим одну часть балки и заменим действие её на оставшуюся часть искомыми напряжениями. Оставить следует, для упрощения вычислений, ту часть балки, к которой приложено меньше сил, в нашем случае - левую.

ХАРАКТЕР НАПРЯЖЕНИЙ В БАЛКЕ

Фиг. 152.

На оставленную левую часть балки (фиг. 152) в каждой точке сечения тп будут действовать напряжения, которые можно представить составляющими: нормальными а и касательными т. Эти напряжения будут уравновешивать внешние силы А и Pj, приложенные к оставленной части. Внешние силы и напряжения вместе образуют систему сил в пространстве, для которой можно составить шесть уравнений равновесия.

Пытаясь из этих уравнений найти напряжения а и т, мы должны были бы для каждого сечения (при изменении х) заново составлять уравнения равновесия, так как система внешних сил, приложенных к рассматриваемой части, не была бы одинаковой. Например, для сечения между силами и к левой части были бы приложены не две, а уже три силы.

Чтобы получить для о и т общие формулы, годные при любом значении х, удобно, чтобы система внешних сил, действующих на оставленную часть, была всегда единообразного, стандартного вида.

Так как эта система состоит из сил, лежащих в одной плоскости, то её всегда можно заменить силой, приложенной в какой-либо точке, центре приведения, и парой сил; в частном случае сила может обратиться в нуль. Это и будет достаточно простой и в то же время единообразный вид, к которому всегда можно привести систему внешних сил, действующих

на оставленную часть балки.

За центр приведения обычно берут центр тяжести рассматриваемого сечения, что, как мы увидим дальше, значительно упрощает формулы для вычисления о и т.

В рассматриваемой левой части балки заменим силы Л и Pi эквивалентной системой стандартного Приложим в этой точке

X-Oi

х-

Фиг. 153.

типа, приведя их к точке О (фиг. 153). две силы Л - вверх и вниз. Тогда система из реакции Л и этих двух сил сведётся к сосредоточенной силе Л (на фиг. 153, б дважды перечёркнута), приложенной в точке О, и к паре из сил Л (один раз перечёркнута) с плечом х. Момент этой пары равен Ах. Таким же образом поступаем и с силой Pi.

Складываем все дважды перечёркнутые силы, приложенные в точке О, и моменты всех пар, составленных из однажды перечёркнутых сил. При сложении положительными будем считать направления для сил - вверх, а для моментов - по часовой стрелке.