§ 62. Потенциальная энергия при кручении.

Выше, при изучении растяжения, было показано (§ 41), что при деформации упругой системы в ней накапливается энергия, которую мы назвали потенциальной энергией деформации.

Это явление имеет место и при кручении. Если упругий стержень в пределах упругости закрутить на некоторый угол, то после удаления внешних сил он будет раскручиваться и может произвести работу за счёт накопившейся в стержне потенциальной энергии кручения. Пренебрегая необратимыми потерями (нагревание, внутреннее трение и т. п.), мы должны считать, что обнаруживаемая таким образом работа внутренних сил, определяемая количеством потенциальной энергии деформации U, равна работе внешних сил Л.

Пусть имеется вал, закреплённый одним концом, к свободному концу которого будем прикладывать пару сил с моментом, постепенно возрастающим от нуля до конечного значения Ж. По мере возрастания величины момента пары сил будет расти и угол закручивания ср, связанный с уравнением (11.18):

Фиг. 132.

Если откладывать по оси абсцисс углы закручивания (деформацию), а по оси ординат соответствующие значения крутящего момента, то их взаимная зависимость изобразится наклонной прямой OA (фиг. 132). Повторяя рассуждения, проведённые для вычисления работы силы Р при растяжении, найдём, что работа пары выразится площадью треугольника ОАВ\

- 2 *

(11.20)

Наличие множителя у в формуле (11.20) объясняется тем, чго

момент был приложен не сразу всей своей величиной, а прикладывался в порядке постепенного, статического роста от нуля до конечного его значения.

Подставляя вместо ср его значение из уравнения (11.18) и имея в виду, что и=Ау получим выражение для потенциальной энергии при кручении:

Потенциальная энергия может быть выражена и через деформацию, если в формуле (11.20) заменить значение крутящего момента выражением из формулы (11.18):

202 Тогда

(11.22)

Из формул (11.21) и (11.22) видим, что потенциальная энергия при кручении, так же как и при растяжении, является функцией второй степени от силы или от деформации.

§ 63. Определение предельной грузоподъёмности скручиваемого стержня.

В предыдущих параграфах мы определяли необходимые размеры скручиваемого стержня, выполняя условие, чтобы наибольшие касательные напряжения в точках у контура поперечного сечения не превысили допускаемого напряжения [т]. Таким образом, не считаясь с неравномерностью в распределении напряжений по сечению, мы вели расчёт по допускаемым напряжениям.

В этом способе расчёта, так же как и при решении статически неопределимых систем, мы не используем полностью предельной

грузоподъёмности стержня. В предыдущих главах мы считали опасным то состояние стержня, при котором лишь в контурных точках сечения напряжения достигнут предела текучести материала (стали) при сдвиге (фиг. 133, а). Величина по энергетической теории прочности должна быть равна 0,6о. Крутящий момент при этом будет равен:

а угол закручивания

Для дальнейшего увеличения угла закручивания необходимо возрастание крутящего момента, так как материал внутри стержня находится ещё в упругом состоянии. При увеличении деформации рост напряжения у краёв сечения остановится (явление текучести).

н при некотором MMj распределение напряжений будет соответствовать графику, изображённому на фиг. 133, б. Внутри неза-штрихованной окружности радиуса ОВ материал будет, по-прежнему в упругом состоянии.

Предельным состоянием, соответствующим полному исчерпанию грузоподъёмности стержня, будет то распределение напряжений, когда упругая зона исчезнет, - по всему сечению напряжения будут равны пределу текучести z (фиг. 133, в) ).

Крутящий момент М в этом случае можно вычислить, составляя сумму моментов всех внутренних сил относительно центра круга. Для этого разобьём площадь нашего сечения концентрическими кругами на бесконечно малые (кольцевые) площадки.

Напряжения, действующие на каждую такую площадку, в предельном состоянии имеют постоянное значение и равны (фиг. 133, в). Внутренние усилия, приложенные к элементарной площадке радиуса р, будут равны (фиг. 134) i-dF, а момент внутреннего усилия . dFp, Суммируя элементарные моменты вну-арепних сил по площади кольца, получим:

d Мвн = тР dF=zp 27гр dp.

Составляя теперь условие равновесия внешних и внутренних моментов, найдём:

Фиг. 134.

s:M, = 0; Ж р - J 2ху dp = 0.

Отсюда

(11.23)

Допускаемый крутящий момент при коэффициенте запаса k будет равен:

(11.24)

откуда

У 2п1.]

) Эта схема работы сечения в предельном состоянии является лишь нриближённой. В действительности, в центре вала напряжения растут не скачком, хотя и очень резко, и на поверхности не остаются равными т а возрастают вследствие упрочнения материала.