§ 58. Вычисление полярных моментов инерции и моментов сопротивления сечения вала.

Для вычисления Jp = dF выделим в сечении кольцевую пло-

щадку радиусами р и p-(-rfp (фиг. 127). В пределах этого кольца выделим маленькую площадку dF. Просуммируем произведения dF сначала для кольцевой площадки, а потом сложим полученные величины для всех кольцевых площадок, на которые можно разделить сечение. Так как все площадки внутри кольца находятся на одном и том же расстоянии р от центра, то для них

Но dF для кольца, как площадь узкой полоски, равна dF=2Tzpdp и, следовательно,

dF=2Tzp dp. Тогда, суммируя эти величины для всего сечения, получаем:

J=2pЫp = 2pЫp =

Фиг. 12L

или, выражая через диаметр,

(11.11)

Это и будет полярный момент инерции для круга. Момент сопротивления при кручении для круга равен:

J, Tzr* Tcr

fmax

2 . r 0,2Л

(11.12)

Из формулы (11.8) видно, что напряжения т в точках сечения, близких к центру (р мало), невелики. Крутящий момент уравновешивается, главным образом, напряжениями, действующими в части сечения, Фиг. 128. близкой к поверхности стержня; материал же средней части вала принимает очень слабое участие в этой работе. Поэтому с целью облегчения валов иногда делают их трубчатыми (фиг. 128). При этом удаляется и наиболее загрязненная посторонними примесями центральная часть поковки, из которой изготовляют вал.

Вычислим момент инерции и момент сопротивления такого трубчатого сечения. Радиус наружного очертания назовём /?, внутреннего г. Тогда

Момент сопротивления

(11.13)

Рша, 2У? - 16D

(11.14)

Если задаться отношением диаметров = а, или d = aD, то получим;

(11.13) (11.14)

При малой толщине t стенок трубчатого сечения (t<0,\R), обозначив средний радиус трубы Го = -и имея в виду, что - r==t, получим:

J, = iR-r) = {R + r){R-{-r)iR-r) = ~(R + r)2r,t.

Заменяя /? = Го--у и г = Го - у и пренебрегая квадратом малой

толщины, после возведения в квадрат получил! для полярного момента инерции:

Jp27:rlL (11.15)

Точно так же для момента сопротивления найдём:

(11.16)

Эти приближённые формулы очень удобны для практических расчётов.

Как видно, для каждого поперечного сечения полярные момент инерции и момент сопротивления Jp и Wp имеют только одно вполне определённое значение, зависящее от поперечных размеров вала.

max X = - = --

Отсюда

fm 12.179000 iTFT = к ..400 =

Диаметр вала d 13,2 см,

§ 60. Определение деформаций при кручении.

Как мы видели в § 57, при скручивании цилиндрического стержня с круглым поперечным сечением парами сил М, приложенными по его концам, деформация состоит в повороте сечений стержня относительно неподвижного опорного сечения.

§ 59. Условие прочности при кручении.

Зная величину полярного момента сопротивления сечения, можем найти тахт по формуле (11.10).

По условию прочности наибольшее касательное напряжение не должно превышать допускаемого, т. е.

шахт = <[х]. (11.17)

Отсюда при известном крутящем моменте и выбранном допускаемом напряжении можно определить необходимый момент сопротивления сечения, а затем и необходимый радиус или диаметр вала.

Что касается величины допускаемого напряжения [т], то, как выяснено выше (§ 53), его следует принимать от 0,5 до 0,6 основного допускаемого напряжения на растяжение.

На практике величина [т] колеблется для мягкой стали от 200 до 1000 кг/сму для твёрдой - от 300 до 1200 кг/см, в зависимости от характера нагрузки (постоянная, переменная, ударная) и величины местных напряжений, возникающих в тех местах вала, где в нём имеются гнёзда для шпонок, выкружки и другие изменения формы сечения.

Применение условия прочности (11.15) для подбора сечения вала покажем на примере.

Пример 33. Найдём диаметр стального ea.ia, передающего мощность yv=150 л, с. при л = 60 об/мин. Допускаемое касательное напряжение (т] = 400 кг/см.

Из форму.1ы (11.3) получаем:

2250.150

Из формулы (11.15) имеем:

ЛЬ 2М