Если а, = а.

Величину 2fx) изь1вают модулем объёмной деформации и

обозначают буквой К. Тогда, вводя это обозначение в (7.21), находим:

, , а, -4- а 4-

(7.22)

Мы видим, что изменение объё1а зависит лишь от суммы главных напряжений, а не от их соотношения. Поэтому кубик получит одно и то же изменение объёма, будут ли по его граням действовать различные по величине главные напряжения а и аз или одинаковые напряжения;

а, + Og -f- q -3 ->

В последнем случае все рёбра кубика получат одинаковую деформацию:

£1 + 2 + Ч 1 + 2 + <J$ °

з/с-з

(7.23)

Фиг. 88.

Пример 23. Бетонный кубик со стороной а =я 20 см плотно помещён в абсолютно жёсткую обойму и центрально сжимается силами Р = 24 г (фиг. 88).

Найти давление на стенки обоймы и напряжения в бетоне. Коэффициент Пуассона для бетона fi = 0,l8.

При продольном сжатии бетона он стремится раздаться в стороны и давит при этом на стенки обоймы с силой, равной реакциям стенок. Обозначим реакции стенок и (силы Р направлены по оси z). Ввиду симметрии оси х, у и Z совпадают с направлениями главных напряжений. Поскольку все действующие на кубик силы пересекаются в одной точке, уравнения статики не могут быть использованы, так как обращаются в тождества вида 0 = 0.

Обратимся к рассмотрению упругих деформаций. В силу жёсткости обоймы поперечные деформации (в направлениях осей х и у) невозможны. Следовательно, е. = = 0. Выразим относительные удлинения через напряжения ад., Qy и 0:

-+(- = 0.

Здесь

У а-

и а. = -

Решая уравнения деформаций совместно, найдём:

= Оз = о, то

Подставляя значения, найдём:

Напряжения в бетоне будут:

о = аа== - 13,2 кг/см\

Р 24000 , ,

02 = 3= - - =--2б2~= - кг/см\

§ 41. Потенциальная энергия упругой деформации при сложном напряжённом состоянии.

Потенциальной энергией деформации называется энергия, накапливаемая в материале в результате упругой деформации, вызванной действием внешних сил.

Для вычисления потенциальной энергии, накопленной упругой системой, можно воспользоваться законом сохранения энергии.

Рассмотрим сначала случай простого растяжения (фиг. 89). Если мы будем нагружать стержень статически, путём постепенного подвешивания очень малых грузов АР, то при добавлении каждого такого груза подвешенная часть нагрузки опустится и- у/ш/у, потенциальная энергия , её уменьшится, а потенциальная энергия деформации растянутого стержня возрастёт.

При медленном, постепенном возрастании нагрузки, скорость перемещения свободного конца стержня будет весьма мала. Поэтому силами инерции перемещающихся масс можно пренебречь, и, значит, можно считать, что деформация стержня не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы. Щ:с/Р

При этих условиях потенциальная энергия груза ф. ij при его опускании преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации стержня (рассеиванием энергии за счсг тепловых и электромагнитных явлений, сопровождающих упругую деформацию, - пренебрегаем). Таким образом, упругую систему при статическом действии сил можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Так как количество потенциальной энергии, потерянной грузом, численно равно работе, произведённой им при опускании, то задача б определении потенциальной энергии деформации сводится к вычислению работы внешних сил. При простом растяжении (§ 11) A-iH работы внешних сил было получено

Л---. (3.1)

ИЛИ, после раскрытия скобок,

II = [1+1 + 1-2 (1. + 13 + .з)]. (7.26)

Таким образом, полная энергия деформации, накапливаемая в единице объёма материала (кубик со сторонами, равными единице длины), может быть определена по формуле (7.26). Эта энергия может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии и, накапливаемой за счёт изменения объёма v рассматриваемого кубика (т. е. одинакового изменения всех его размеров без изменения кубической формы) и 2) энергии г/ф, связанной с изменением формы куб1и<а (т. е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед).

Такое разделение потенциальной энергии на две части оказывается удобным при дальнейшем рассмотрении вопроса о прочности материала при объёмном напряжённом состоянии.

- --[J-p- +2 -р----l-p- +

значит, п потенциальная энергия растяжения (при Ш - -

Количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объёма (3.2):

= = -=--f-. (7.25)

Теперь перейдём к определению количества потенциальной энергии, накапливаемой в единице объёма материала, находящегося

в условиях сложного (объёмного и плоского) напряжённого СОСТОЯг

ния. Пользуясь принципом независимости и сложения действия сил и предполагая постепенное возрастание главных напряжений, подсчитаем потенциальную энергию, как сумму энергий, накапливаемых в единице объёма материала под действием каждого из главных напряжений а, и аз по формуле (7.25)

где £i, £.2 и £з - относительные удлинения, вычисляемые по формулам (7.18). (Следовательно, удельная энергия деформации в этом случае будет: