получаем, что линия BD, соединяющая левую крайнюю точку круга с точкой параллельна напряжению а; линия BD - напряжению 0; стрелки поставлены в соответствии с полученными знаками напряжений.

На фиг. 83 изображено построение для случая, когда оба главных напряжения сжимающие.

§ 38. Нахождение главных напряжений при помощи круга.

Иногда приходится решать задачу, обратную рассмотренной в предыдущем параграфе, т. е. по напряжениям а, и с, находить главные напряжения. Проще всего это сделать, пользуясь кругом напряжений.

Пусть (фиг. 84) мы знаем нормальные и касательные напряжения по площадкам аир, перпендикулярным к плоскости чертежа

и составляющим между собой прямой угол. Нормальные напряжения обозна-, чим Од и Ор, а касательные и т; при этом Тд = - Условимся значки аир ставить так, чтобы o]>Op (алгебраически). Примем для определённости, что Од>Ор>0 и Сд>0.

Нанесём напряжения о, о, и на систему координат искомого круга напряжений (фиг. 84):

Так как точки /)д и Z), соответствующие взаимно перпендикулярным площадкам а и Ь, должны лежать на противоположных концах диаметра Фиг. 84. круга, то точка пересечения линии

DD с осью о даст центр круга С. Описывая из точки С круг радиусом CD или CD, получим на оси о отрезки ОЛ и ОВ, изображающие главные напряжения: OA = oi и ОВ = с.

Направление о на круге напряжений изображается прямой BZ) , наклонённой к оси о на положительный угол а. Следовательно, чтобы перейти в круге напряжений от линии oj к линии о, надо отложить угол а против часовой стрелки, двигаясь от точки А к точке В нашем примере известным считается направление о. Значит, чтобы на чертеже рассматриваемого элемента изобразить искомое направление oi, надо от направления отложить угол а в обратную сторону, по часовой стрелке; относительное располо-

§ Щ НАХОЖДЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ КРУГЛ 133

jKefHie напряжений oi и а, изображаемых на чертеже круга линиями ОЛ BDay должно быть сохранено и на чертеже элемента.

Можно дать и на круге напряжений истинное направление главного напряжения oi, совпадающее с получаемым, как сейчас описано, на чертеже элемента; для этого нужно от оси а, параллельной направлению а, отложить угол а из крайней левой точки В круга по часовой стрелке, иначе говоря, снести точку в точку D. Направление BDa теперь совпадёт с направлением а, а направление с. будет к нему перпендикулярно. При изображении главных напряжений (в нашем примере oj и а) необходимо помнить об их знаках, полученных при построении круга, а также соблюдать правила нумерации главных напряжений.

Заметим, что в рассматриваемых задачах при плоском напряжённом состоянии третье главное напряжение равно нулю. В соответствии с этим, если при построении круга оба главных напряжения получатся положительными (фиг. 84), то большее будет oj, а меньшее а.2; если одно положительное, а другое отрицательное, то первое будет Gi, а второе 03; наконец, если оба отрицательны, то большее по абсолютной величине будет Од, а меньшее а..

Величина угла а определяется формулами (фиг. 84):

(7.11)

Знак минус ставится потому, что при положительных значениях и Тд угол а (угол поворота направления в главное направление) отсчитывается по часовой стрелке.

Пользуясь фиг. 84, можно получить формулы для вычисления главных напряжений, изображаемых отрезками OA и ОВ, при плоском напряжённом состоянии. Из чертежа имеем

ОА = ОС-\СА и ОВ=:ОС - СВ.

Далее:

Радиусы круга напряжений СА - СВ, равные CD = CD равны:

С А = СВ = CD, = YCKi л- K,D% = У

Таким образом,

= ОВ

= ~ [(. + ± - -г 1. (.12)

В практике часто приходится встречаться с такими случаями ПЛОСКОГО напряжённого состояния, когда = 0. Тогда формулы для главных напряжений примут вид:

(7.13)

Здесь наименьшее главное напряжение обозначено через о, так как ОНО отрицательно (поскольку подкоренное выражение больше о).

Угол наклона 1-го главного напряжения к оси о определяется формулами, вытекающими из (7.11):

tga = -

(7.14)

Ниже па примерах показано нахождение главных напряжений с помощью круга напряжений.

--q=m-*

Фиг. 85.

Пример 21. Дано: = + 400 дгг/с.н; = ~ 300 кг/см; cg = == - 200 кг/см; = + 300 кг/см\

На фиг. 85 показано нахождение величин и направлений главных напряжений: =+ 530 кг/см; оз = -330 кг/см\ о = 22° (между a и о,).

Пример 22. Дано: = 1 ООО кг/см; \ = 400 кг/см; =0, - = -400 лгЪ/2. Построение показано на фиг. 86. сд = 1140 нг/см ; = -140 кг1с.м\