мающим, то первое придётся называть oj, а второе а; если оба напряжения будут сжимающими, то меньшее по абсолютной величине придётся назвать о, а большее 03.

Поставим задачу отыскания наибольших нормальных и касательных напряжений по сечениям, перпендикулярным к фасадным граням.

Проведём такое сечение, нормаль к которому составит с направлением / угол di (фиг. 77). С направлением та же нормаль составит угол аз. По этому сечению будут действовать и нормальные Од и касательные напряжения, зависящие и от и от а,. Величину их мы получим, рассматривая действие и отдельно и складывая результаты. Та доля нормальных напряжений, которую вызывают Oi, выразится по формуле (7.1) так: Oicosaf, другая же часть напряжений о, вызванная о, выразится по той же формуле в виде ocosa. Полное нормальное напряжение равно

Од = ai cos di -\- 02 cos acj = cos a, cos (a 90°)

Од = oi cos ai -[- 02 sin aj. (7.5)

Таким же рассуждением при помощи формулы (7.2) находим величину касательных напряжений по проведённой площадке:

Тд = у [oi sin 2ai -\- 0 sin 2й] = ~ [о sin 2ai -\- sin 2 (ai -\- 90°)] или

(7.6)

В этих формулах а - угол, отсчитанный против часовой стрелки от направления оси / (напряжения о) до нормали к рассматриваемому сечению. Знаки для Од и Тд, а также для углов а и а будем принимать по правилу, установленному выше, в § 33.

В дальнейшем в формулах для Од и Тд угол а будем обозначать через а, отсчитывая этот угол всегда от направления наибольшего (алгебраически) главного напряжения против часовой стрелки.

Пользуясь формулами (7.5) и (7.6) для напряжений по площадке а - а (фиг. 78), легко находим напряжения по площадке b - b, ей перпендикулярной, имеющей нормаль п, составляющую с направлением наибольшего главного напряжения угол р = а-}-90°:

0 = о, cos р + о, sin ? = 01 cos (а + 90°) + о, sin (а + 90°),

= Oi sin а 4- <<i cos а; j

= -i sin 2p = Sin (2a 4- 180°).

---2

sin 2a.

(7.6)

§ 361

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ плоском НАПРЯЖЁННОМ СОСТОЯНИИ

(7.7)

TTTWTT

Фиг. 78.

Из полученных формул выясняются свойства напряжений, действующих ПО взаимно перпендикулярным площадкам. Для нормальных лапряжений имеем:

Од = Oj cos а 4- sin а,

Ор = oj sin а -(- 2 cos а. Складывая, получим:

Од + Ор = Oj -f 02 = const.,

t. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна сумме главных напряжений.

Для касательных напряжений, сопоставляя формулы (7.6) и (7.6), получим: T = -V (7.8)

Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку. Это свойство обычно называют <изаконом парности касательных напряжений , причём оно имеет место во всех случаях, когда имеются касательные напряжения.

Из формул (7.5) и (7.6) видно, что величины нормальных и касательных напряжений по любой площадке зависят от угла наклона этой площадки.

Чтобы найти наибольшее значение нормального напряжения, исследуем выражение (7.5) на maximum. Взяв производную и приравняв её нулю, получим:

= - 2oi cos а sin а -- 2о2 sin а cos а = О

J;=-(oi~a2) sin 2а = 0.

(7.9)

Сопоставляя полученное выражение (7.9) с формулой (7.6), видим, что условие максимума для о совпадает с условием равенства нулю касательных напряжений по соответствующим площадкам. Из этого же выражения следует, что о = oj cos а -- 02 sin а получит наибольшее значение либо при а = 0, либо при а = 90°. Так как оОд, то;

гаахОд = 01 (при а = 0), min Од = 02 (при а = 90°),

е. наибольшее и наименьшее нормальные напряжения в данной точке - это главные напряжения Oj и о, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам, свободным от касатель-Ь1х напряжений.

Наибольшее значение касательных напряжений, как это видно из формулы (7.6), будет:

max = -

(при sin 2а =1, т. е. при а = 45°). (7.10)

Следовательно, наибольшие касательные напряжения равны полу-разности главных напряжений и действуют по площадкам, наклонённым к главным площадкам на угол 45° и перпендикулярным к плоскости чертежа. По площадкам, параллельным о, наибольшее касательное напряжение будет:

тахт=-.

(7.107

§ 37. Графическое определение напряжений (круг Мора).

Вычисление и по формулам (7.5) и (7.6) может быть заменено графическим построением (фиг. 79).

Возьмём систему прямоугольных координат с осями опт. Положительную ось о направим вправо. Отложим на оси о отрезкщ OA

и ОВ, изображающие в определённом масштабе числовые величины напряжений oj и fl (ось а удобно рас-ус полагать параллельно 5 наибольшему главному напряжению а).

На фиг. 79 оба эти напряжения приняты растягивающими и отложены на оси а в положительном направлении. Если бы одно

или оба эти напряжения были сжимающими, мы отложили бы их в противоположном направлении. Построим на отрезке АВ, как на диаметре, круг с центром С, который назовём кругом напряжений* Тогда для нахождения нормального и касательного напряжения Сд по площадке, нормаль к которой составляет с наибольшим главным напряжением угол а, надо построить при точке С центральный угол 2а, откладывая его положительные значения от оси о против часовой стрелки. Точка D круга напряжений будет соответствовать выбранной площадке; её координаты ОК и DK соответственно равны и т. Это легко доказать. Из чертежа находим радиус круга напряжений:

Фиг. 79.