Выделим (фиг. 71) из растянутого стержня двумя наклонными параллельными сечениями 1-1 и 2-2 тонкий слой материала: этот слой на фиг. 71 заштрихован. На обе плоскости, ограничивающие этот слой, будут действовать и нормальные и касательные напряжения, и т. Как видно из чертежа, нормальные напряжения соответствуют растяжению выделенного слоя; напряжения же соответствуют стремлению сечений /-/ и 2-2 сдвинуться параллельно одно другому.

Значит, наличие этих двух видов напряжений соответствует наличию двух видов деформаций: продольной деформации (удлинение или укорочение) и деформации сдвига.

Фиг. 71. Этому соответствуют и два вида разрушения ма-

териала: путём отрыва и путём сдвига. Для того чтобы убедиться в достаточном сопротивлении материала стержня разрушению, необходимо установить наибольшие значения величин и в зависимости от положения площадки тп.

Из формул (7.1) и (7.2) следует, что достигает своего наибольшего значения, когда cosa будет равен единице и угол а = 0. Максимум же получится при sin 2а =1, т. е. при 2а = 90 и а = 45°. Величины этих наибольших напряжений будут равны:

таха = ао = -; тахт = -. (7.3)

Таким образом: наибольшие нормальные напряжения действуют в данном случае по площадкам, перпендикулярным к оси стержня; наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45° с направлением оси стержня, и равны половине наибольших нормальных напряжений.

Возникает вопрос, по отношению к какому из этих видов напряжений следует производить проверку прочности, какому из них приписать решающую роль в нарушении прочности материала. Это подробно освещено в главе VIII (§ 43).

§ 34. Понятие о главных напряжениях. Виды напряжённого состояния материала.

В предыдущих главах мы ознакомились с поведением материала при осевом (или, как его часто называют, простом) растяжении и сжатии. На практике, однако, возможны случаи, когда под действием внешних сил элемент материала подвергается растяжению или сжатию по двум и трём направлениям, т. е. находится в условиях сложного напряжённого состояния.

В § 33 было показано, что и при простом растяжении возможны напряжения двух видов - нормальные о и касательные х. Из фор-

§ 34] ПОНЯТИЕ о ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 121

ул (7.1) и (7.2) следует, что по сечениям, перпендикулярным к оси растянутого стержня (а = 0), возникают только нормальные напряжения (х = 0), а по сечениям, параллельным его оси (а = 90) нет ни нормальных, ни касательных напряжений (о = 0 и т = 0).

Такие площадки, по которым нет касательных напряжений, называются главными; нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, называются главными напряжениями.

В теории упругости доказывается, что в каждой точке любого напряжённого тела можно провести три взаимно перпендикулярные главные площадки, через которые передаются три главных (нормальных) напряжения; из них два имеют экстремальные значения: одно является наибольшим нормальным напряжением, другое - наименьшим, третье - промежуточное. В каждой точке напряжённого тела можно выделить элементарный I

кубик, гранями которого служат главные площадки. Материал кубика растягивается или сжимается тремя взаимно перпендикулярными главными напря-жениями, передающимися через эти грани (фиг. 72).

В случае простого растяжения (§ 33) одна главная площадка в ка- б,

ждой точке перпендикулярна к оси Фиг. 72.

стержня (а = 0), а две другие параллельны этой оси (а = 90°). Так как по первой главной площадке нормальное напряжение не равно нулю (o ф 0), а по двум другим оно обращается в нуль, то при простом растяжении и сжатии в каждой точке стержня из трёх главных напряжений только одно не равно нулю; оно направлено параллельно растягивающей силе и оси стержня. Такое напряжённое состояние материала называется линейным. Выделенный из стержня элемент растягивается лишь в одном направлении.

На практике встречаются случаи, когда элемент материала, в виде кубика, подвергается растяжению или сжатию по двум взаимно перпендикулярным направлениям или по всем трём (фиг. 72). Такой случай работы материала, когда два главных напряжения не равны нулю, называется плоским напряжённым состоянием.

Если же все три главных напряжения не равны нулю в рассматриваемой точке, то налицо самый общий случай распределения напряжений в материале - объёмное напряжённое состояние; эле-**ентарный кубик будет подвергаться растяжению или сжатию по всем трём взаимно перпендикулярным направлениям.

Главные напряжения условимся в дальнейшем обозначать буквами

<32> Н- Нумерацию главных напряжений установим таким образом, тобы Gj обозначало наибольшее по алгебраической величине, а 03 - *именьшее напряжение. Сжимающие напряжения условимся, как и

прежде, считать отрицательными; поэтому, если, например, главные напряжения будут иметь значения 1000 кг/см , -Q00 кг/см\ + 400 кг/см, то нумерация должна быть такой:

Oi = -- 1000 кг/см; 02 = --400 кг/см; 03 =- 600 кг/см;

условие oiogog будет выполнено.

Таким образом, мы различаем три вида напряжённого состояния:

1) объёмное напряжённое состояние - когда все три главных напряжения не равны нулю (например, случай растяжения или сжатия по трём взаимно перпендикулярным направлениям);

2) плоское напряжённое состояние - когда одно главное напряжение равно нулю (случай растяжения или сжатия по двум направлениям);

3) линейное напряжённое состояние - когда два главных напряжения равны нулю (случай растяжения или сжатия в одном направлении).

В § 33 мы рассмотрели распределение напряжений при линейном напряжённом состоянии; ниже будут приведены примеры плоского и объёмного напряжённых состояний и изучено распределение напряжений по различным площадкам в этих случаях.

§ 35. Примеры плоского и объёмного напряжённого состояний. Расчёт цилиндрического котла. Понятие о контактных напряжениях.

В качестве примера сложного напряжённого состояния рассмотрим напряжения, которым подвергается материал цилиндрической части тонкостенного резервуара (котла), внутри которого находится газ, пар или вода при давлении q am, т. е. q кг/см. Боковые стенки

и днища резервуара

аподвергаются равномерно распределённому давлению q. Собственным весом жидкости в резервуаре пренебрегаем.

Давление на днища будет стремиться разорвать цилиндрическую часть по поперечному сечению; давление же на боковые стенки вызовет в них стремление разорваться по образующим цилиндра. Таким образом, если мы выделим из цилиндрической части резервуара прямоугольный элемент ABCD, то этот элемент будет подвергаться растяжению в двух направлениях: напряжениями о по сечениям, перпендикулярным к образующим, и напряжениями а по сечениям вдоль образующих (фиг. 73).