Пример 16. Трос шахтного подъёмника длиной 120 м имеет два участка по 60 я каждый. Площадь поперечного сечения верхнего участка равна 4 с , нижнего - 3 слсОбъёмный вес материала троса 7,85 г/си# , его модуль упругости Я=1,5 10 кг/см. Вес клети, поднимаемой тросом, равен 1500 лгг. Определить удлинение троса.

Вес нижней части троса составиг.

(?1 = 7,85 . 10- . 3 . 60 . 10 = 141,3 лгг, и вес верхней части

= 7,85 . 10- . 4 . 60 . 102 = igg4 Удлинение нижней части троса будет равно

д/, =

1500 + 1J60. 10

а удлинение верхней части

Д4 =

1,5 10 . 3

/ 1 Я.Я А\

1500+ 141,3+-

= 2,10 см.

60 . 10

EFi 1,5 . 10 .4

Полное удлинение троса будет равно

А/ = A/i + Л/а = 2,10 + 1,74 = 3,84 сМ.

= 1,74 см.

§ 31. Гибкие нити.

А. В технике встречается ещё один вид растянутых элементов, при определении прочности которых важное значение имеет собственный вес. Это - так называемые гибкие нити. Таким термином

обозначаются гибкие элементы в линиях электропередач, в

канатных дорогах, в висячих мостах и других сооружениях.

Пусть (фиг. 64) имеется гибкая нить постоянного сечения, нагружённая собственным весом и подвешенная в двух точках, находящихся на разных уровнях. Под действием собственного веса нить провисает по некоторой кривой АОВ. Горизонтальная проекция расстояния между опорами (точками её закрепления), обозначаемая /, носит название пролета.

Нить имеет иостоянное сечение, следовательно, вес её распределён равномерно по её длине. Обычно провисание нити невелико по сравнению с её пролётом, и длина кривой AOS мало отличается (не более чем на ЮУо) длины хорды АВ. В этом случае с достаточной степенью точности можно считать, что вес нити равно-

Фиг. 64.

церно распределён не по её длине, а по длине её проекции на горизонтальную ось, т. е. вдоль пролёта L Эту категорию гибких нитей мы и рассмотрим. Примем, что интенсивность нагрузки, равномерно распределённой по пролёту нити, равна q. Эта нагрузка, имеющая размерность сила\Ьлинау может быть не только собственным весом нити, приходящимся на единицу длины пролёта, но и весом льда или любой другой нагрузкой, также равномерно распределённой. Сделанное допущение о законе распределения нагрузки значительно .облегчает расчёт, но делает его вместе с тем приближённым; если при точном решении (нагрузка распределена вдоль кривой) кривой провисания будет цепная линия, то в приближённом решении кривая провисания оказывается квадратной параболой.

Начало координат выберем в самой низшей точке провисания нити О (фиг. 64), положение которой, нам пока неизвестное, очевидно, зависит от величины нагрузки , от соотношения между длиной нити по кривой и длиной пролёта, а также от относительного положения опорных точек. В точке О касательная к кривой провисания нити, очевидно, горизонтальна. По этой касательной направим вправо ось х.

Вырежем двумя сечениями - в начале координат и на расстоянии X от начала координат (сечение т - п) - часть длины нити. Так как нить предположена гибкой, т. е. способной сопротивляться лишь растяжению, то действие отброшенной части на оставшуюся возможно только в виде силы, направленной по касательной к кривой провисания нити в месте разреза; иное направление этой силы невозможно.

На фигуре 65 представлена вырезанная часть нити с действующими на неё силами. Равномерно

распределённая нагрузка интенсивностью q направлена вертикально вниз. Воздействие левой отброшенной части (горизонтальная сила Я) направлено, ввиду того, что нить работает на растяжение, влево. Действие правой отброшенной части, сила Г, направлено вправо по касательной к кривой провисания нити в этой точке.

Составим уравнение равновесия вырезанного участка нити. Возьмём сумму моментов всех сил относительно точки приложения силы Т и приравняем её нулю. При этом учтём, опираясь на приведённое в начале допущение, что равнодействующая распределённой нагрузки интенсивностью q будет qx, и что она приложена посредине отрезка х (фиг. 65). Тогда

Фиг. 65.

Hy - qx- = ,

откуда У = .

(6.8)

(1+1$). (6.11)

Вернёмся к рассмотрению фиг. 65. Составим ещё одно условие равновесия вырезанной части нити, а именно, приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось х:

- Я-}- Гсо8а = 0.

Из этого уравнения найдём силу Т-натяжение в произвольной точке

=- (6.12)

Из формулы (6.12) видно, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса - там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает

) Элемент длины кривой ds = dx Л/ 1 + ; так как из формул (6.8)

и (6.10) следует, что = = -,то dsdxll-]-~-j tdx\\ +

-Щг~~ После интегрирования в пределах от л: = О до л: = 2 и удваивания приходим к формуле (6.11).

Отсюда следует, что кривая провисания нити является параболой. Когда обе точки подвеса нити находятся на одном уровне, то /j=/2=/. Величина / в данном случае будет так называемой стрелой провисания. Её легко определить из уравнения (6.8); так как в этом случае, ввиду симметрии, низшая точка нити находится

посредине пролёта, то а = Ь = -\ подставляя в уравнение (6.8) значения x = b=Y У=А получаем:

Из этой формулы находим величину силы Н:

Я=. (6.10)

Величина Н называется горизонтальным натяжением нити.

Таким образом, если известны нагрузка q и натяжение Я, то по формуле (6.9) найдём стрелу провисания /. При заданных и / натяжение Н определяется формулой (6.10). Связь этих величин с длиной 5 нити по кривой провисания устанавливается при помощи известной из математики приближённой формулы)