§ 29] ПОДБОР СЕЧЕНИЙ с УЧЁТОМ СОБСТВЕННОГО ВЕСА 105

Отсюда

= lnF()-lnFo = ln. = е1

Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (фиг. 61), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближённую форму стержня равного сопротивления, например в виде усечённой пирамиды с плоскими гранями, у /

Приведённый расчёт является приближённым. Мы \ \ предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краёв сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближённо, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение \Р остаётся постоянным (фиг. 62) - получается так назы- Фиг. 62. ваемый ступенчатый стержень.

Определение площадей f, F, ... при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого снизу участка будет по формуле (6.4) равна

Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка 71/1:

F -£±jEi!i.

Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.

Для того чтобы сравнить выгодность применения брусьев равного сопротивления, ступенчатых и постоянного сечения, рассмотрим числовой пример.

Пример 15. Опора высотой Л = 42 лс подвергается сжатию центрально приложенной силой Р = 400 г, принимая объёмный вес кладки 2,2 г/ж , а допускаемое напряжение на сжатие 12 кг/см, сравнить объёмы кладки Для случаев:

опоры постоянного сечения,

опоры из трёх призматических частей равной длины, опоры равного сопротивления сжатию.

Расчёт ведём в тоннах и метрах.

Для первого случая площадь поперечного сечения равна = [а1 - Л7 120-42.2,2

Объём равен

V = F=l4,5.42 :r610 м\ Во втором случае площадь сечения верхней части равна

= 7-Л--120-U.2.2=

Площадь сечения второго участка равна

+ Tf. I 400 4.2,2 . 4,48 U

Л - 120-14.2,2 -

Площадь сечения на третьем участке равна

F / + Т + 3 400 + 2,2 . 4,48 . 14 + 2,2 6,04 .14 , . - 120-14.2,2--

Полный объём кладки равен

= (Fi + Fa + Fs) у = (4,48 + 6,04 + 8,12) 14 = 261 м\

Этот же ответ можно получить из условия, что усилие внизу третьего

[гчастка, равное P+G (где G - вес всей опоры), одновременно равно ajF,; тогда

1 = = 1 = 261 мК Для опоры равного сопротивления сжатию площадь верхнего сечения равна

=-&120 = 3--Площадь нижнего сечения равна

ХЛ 2.2.42

= Fe = 3,33 е = 3,33 = 7,15 мК Вес опоры равного сопротивления G определится из условия

отсюда

G = [alF -Р= 120 . 7,15 - 400 = 460 г. Объём опоры равен

что меньше объёма ступенчатой опоры на 20</о и примерно втрое меньше опоры постоянного сечения.

§ 30]

ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ДЕЙСТВИИ СОБСТВЕННОГО ВЕСА

§ 30. Деформации при действии собственного веса.

При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придётся учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение о(х). Для вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения определим сначала удлинение бесконечно малого участка стержня длиной dx, находящегося на расстоянии X от конца стержня (фиг. 63). Абсолютное удлинение этого участка (формула (2.5)) равно

A (P + lxF)dx dx а ах- -

Полное удлинение стержня А/ равно

EF 2E

Фиг. 63.

Помножим и разделим второе слагаемое на F и учтём, что fFl = Q есть полный вес стержня. Тогда удлинение от одного соб* ственного веса (второе слагаемое формулы) равно

А/ -L

т. е. оно в два раза меньше удлинения от приложенной к концу стержня внешней силы Q, равной собственному его весу.

Что же касается деформаций стержней равного сопротивления, то, так как нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым [о], относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно

Абсолютное же удлинение при длине стержня / равно д/ е/ -;g,

где обозначения соответствуют фиг. 61.

Деформацию ступенчатых стержней следует определять по частям, выполняя подсчёты по отдельным призматическим участкам. При определении деформации каждого участка учитывается не только его собственный вес, но и вес тех участков, которые влияют на его деформацию, добавляясь к внешней силе. Полная деформация получится суммированием деформаций отдельных участков.