Совместно решая уравнения (4.24), (4.25) и (4.27), определяем Ni, Д, и Лз. Они будут равны:

= 792 кг, = 1020 кг и = 2188 кг.

Если бы наше предположение о направлении усилий для какого-нибудь стержня оказалось ошибочным, то мы получили бы отрицательное значение этого усилия.

Теперь находим соответствующие напряжения:

Ni 792

в первом стержне oi = p- = - = 396 кг/см*,

втором стержне = =1= 1020 кг/см, N, 2188

и в третьем стержне cj = -=;=

Гз о

=729 кг/см\

Эта же задача могла бы быть решена при раздельном учёте влияний нагрузки, температуры и неточности изготовления с последующим алгебраическим суммированием напряжений. Результат был бы, конечно, такой же.

§ 24. Более сложные случаи статически неопределимых конструкций.

Во всех рассмотренных статически неопределимых задачах число неизвестных усилий на единицу превышало число уравнений статики; это - задачи однажды статически неопределимые; одно из неизвестных усилий может быть принято, как говорят, за лишнюю, не определяемую из уравнений статики, неизвестную.

Могут быть случаи, когда таких лишних неизвестных будет несколько; тогда придётся составить столько же дополнительных уравнений, рассматри-

cos45°

Фиг. 51.

вая совместность деформаций системы. Это всегда возможно. Как пример можно указать конструкцию, изображённую на фиг. 51; очень жёсткий стержень шарнирно прикреплён к неподвижной опоре, подвешен на трёх стержнях и нагружён силой Р.

Для стержня АВ можно написать три уравнения равновесия; число же неизвестных будет пять: усилия в трёх подвесках и вертикальная и горизонтальная составляющие реакции в шарнире Л.

Дополнительные уравнения можно написать, рассматривая деформацию системы. Так как стержень АВ мы считаем очень жёстким, то его собствен-

ПРИМЕРЫ

§ 25]

ними деформациями можно пренебречь. Тогда он, оставаясь прямым, зай-

,ет положение АВ. Из подобия треугольников можно найти соотношения

между АЛ, и А/з, что и даёт два дополнительных уравнения, а именно:

Й = - и A/g

A/i А/з

COS45

Дальнейший ход решения задачи подобен рассмотренному выше (§ 19).

§ 25. Примеры.

Пример И. Стержень, защемлённый концами А и В, состоит из двух

равных половин длиной у (фиг. 52, а); верхняя половина изготовлена из

стали, нижняя - из меди. Площади обеих частей стержня одинаковы и равны р = 20 см, К среднему сечению приложена сила Р=6 г, направленная по оси стержня сверху вниз от конца А к концу В. Найти напряжения в медной и стальной частях при повышении температуры на ° = 30°С. Модули упругости равны Е = 2 - 10® кг/см, = :=\0 кг/см. Коэффициенты линейного тем-

пературного расширения а, = 165. 10-

= 125 . 10-

Реакции опор стержня принимаем направленными вверх и обозначаем и Р, (фиг. 52, а\ Условие статики приводит к тому, что

Р + Р, = Р.

Фиг. 52.

Для того чтобы лучше разобраться в имеющих место деформациях, предположим, что нижний конец стержня свободен, опора отсутствует (фиг. 52, 6). Это предположение не изменит работы конструкции при условии, что перемещение этого конца равно нулю и что действие опоры учтено

наличием приложенной к нижнему концу реакции данной опоры -силы Р. Полученный путём отбрасывания лишнего (против количества уравнений равновесия) закрепления статически определимый стержень называется основной системой нашей статически неопределимой конструкции. Заметим попутно, что мы могли бы выбрать и другую основную систему, хотя бы путём отбрасывания верхней опоры (фиг. 52, в). Основную систему при этом пришлось бы. загрузить, конечно, помимо силы Р ещё и реакцией этой верхней отброшенной опоры.

Основная система, загруженная всеми нагрузками и реакциями всех опор, сохранённых и отброшенных, совершенно эквивалентна той статически неопределимой конструкции, из которой она получена при условии, что удовлетворены уравнения совместности деформаций. Эти уравнения составляются, СХОДЯ из тех ограничений, которые опоры статически неопределимой системы накладывают на деформации. Совместное их решение с уравнениями равно-**есия и определяет величины всех неизвестных.

В нашем случае условие совместности выражает ту мысль, что удлинение стержня от повышения температуры (при свободном нижнем конце) плюс удлинение верхней его части от силы Р должно быть численно равно

2 t ci- 2 2EF-2EF 2E F

2Ef 2EfCE

Отсюда находим реакцию Pi a из условия статики и Р:

Рь = -

1 +

Pa=P-Ph =

\ + ~ - с

Обе реакции состоят из двух слагаемых - первого, вызванного силой Р, и второго, вызванного действием температуры; мы могли бы изменить порядок решения задачи и находить отдельно реакции и напряжения от силы и от повышения температуры, а потом их суммировать (способ сложения действия сил).

Реакции от силы Р обе направлены вверх, а от действия температуры - реакция опоры В вверх, а опоры А - вниз (минус в формуле для PJ. Таким образом, весь стержень будет сжат температурными реакциями, и кроме того, верхняя часть будет растянута, а нижняя сжата силами:

f f *

1+ 1+

Поэтому, обозначая растягивающие напряжения знаком --, а сжимающие -, получаем:

i+]F

= 2U0 - 580 = - 380 кг/см

укорочению стержня от силы Р: