напряжённые состояния. На фиг. 656 отрезок OA изображает допускаемое напряжение при простом растяжении [с+, а отрезок ОВ - допускаемое напряжение при простом сжатии [о ].

Для некоторого промежуточного круга 3 с центром в Од, касающегося линии ML (огибающей) в точке К и характеризующего напряжённое состояние

с главными напряжения-ми oi и Од, имеем:

РО, 0,0,

MOl-Ж

00,-ООь

ool + ool

или, заменяя отрезки линий значениями соответствующих напряжений,

[--]-Ы

Фиг. 656. [a]~-(ai-f аз)

[+1 + К]

Выполняя преобразования и вводя знак неравенства, получаем условие прочности по теории Мора:

(38.8)

которое при [о ] = [о.] обращается в условие прочности по теории наибольших касательных напряжений.

Это же уравнение можно вывести и без помощи кругов Мора ), если потребовать, чтобы на любой площадке было соблюдено условие безопасности в отношении сдвига:

(38.9)

Здесь / играет роль коэффициента трения, С - предельное сопротивление материала сдвигу, а тр - некоторое приведённое касательное напряжение. Положение площадок, на которых тр достигает наибольшего значения, определяется углом а по отношению к площадке с главным напряжением о

при этом tg2a = -. Плоскости сдвига проходят параллельно направлению

промежуточного главного напряжения og. Можно показать ), что

Из уравнения (38.9) следует, что в тех случаях, когда о > О (растягивающее напряжение), сдвиги начнутся при меньшей величине касательного напряжения т, чем в тех случаях, когда о<0 (сжимающее напряжение). Та-

1) Проф. Дружинин СИ. и проф. Я г н Ю. И., Сопротивление материалов, 1933.

Фиг. 657.

напряжённого состояния, так и свойства материала, оцениваемые пределом текучести т. и сопротивлением срезу Ср определяемым на основе теории наибольших касательных напряжений, и сопротивлением отрыву %тр = рГзр (р) определённым на основе теории наибольших удлинений.

На диаграмме по оси ординат откладывается наибольшее касательное напряжение аху абсцисс - наибольшее приведённое растяги-

вающее напряжение -тях- Найденные опытным путём значения предела

) Содержание § 252 представляет собой краткое изложение новой теории, составленное на основе работ Я. Б. Фридмана, в частности, его книги Механические свойства металлов , Оборонгиз, 1946.

КИМ образом, уравнения (38.8) и (38.9) отражают то обстоятельство, что по Мору на возникновение текучести, а равно и на разрушение материала, кроме касательных напряжений, влияют также и нормальные напряжения, возникающие на площадках скольжения (сдвига).

Теория Мора хорошо описывает явление пластической деформации и разрушение материалов путём среза, но не даёт правильного освещения явлению разрушения путём отрыва. Таким образом, хотя эта теория и представляет собой известный шаг вперёд по сравнению с другими старыми теориями, всё же область её применения является ограниченной.

§252. Объединённая теория прочности Давиденкова-Фридмана).

А. Взгляды Н. Н. Давиденкова, в дальнейшем с некоторыми изменениямп развитые Я. Б. Фридманом, легли в основу построенной ими новой объединённой теории прочности материалов. Эта теория, описывающая как процессы возникновения и развития пластических деформаций, так и явление разрушения, повидимому, представляет более общее решение вопроса о прочности материала, получаемое путём синтеза двух ранее известных теорий - теории наибольших касательных напряжений и теории наибольших удлинений.

Основные положения новой теории наиболее наглядно отражены в так называемой диаграмме механического состояния материала, предложенной Я. Б. Фридманом (фиг. 657). Эта диаграмма одновременно учитывает как вид

и срез

°шах = (1 + ) w; *

- лучом 4; осевое сжатие

а : max

-лучом 5. (Значения т для лучей 3, 4, 5 на фиг. 657

вычислены в предположении, что fx = 0,25.) Различным случаям растяжения или изгиба надрезанных образцов (напряжённые состояния более или менее близки к всестороннему равномерному растяжению) отвечает группа лучей 2; случаям вдавливания или сжатия под боковым давлением - группа лучей 6.

Диаграмма механического состояния даёт наглядное представление о физической природе нарушения прочности при различных обстоятельствах. Прежде всего следует обратить внимание на взаимное расположение линий, характеризующих свойства материала, и различные виды напряжённого состояния. Если напряжённое состояние таково, что наклонный луч, его изображающий, пересекает сначала прямую Хр {ЛВ\ а потом уже прямую с(а), например, луч 3 (осевое растяжение), то разрушение материала произойдёт путём среза. В этом случае пластические свойства материала будут использованы полностью. Если же изображающий луч пересекает прямую Ор раньше, чем прямую Тр (например, верхний луч группы 2), то материал разрушается путём отрыва, пластичность и вязкость его понижаются в тем большей мере, чем ниже проходит изображающий луч, т. е. чем меньше

отношение т = -- . Таким образом, можно условно различать отдельные + тах

текучести т. и сопротивления срезу Тр изображаются на диаграмме в виде двух прямых горизонтальных линий; сопротивление же отрыву изображается вертикальной прямой, проведённой на соответствующем расстоянии от начала координат. Прямолинейность линий, изображающих т, Тр и вытекает из опреде.тения тт и Тр, сделанного на основе теории наибольших касательных напряжений, а - на основе теории наибольших удлинений.

В качестве единой характеристики напряжённого состояния во всех случаях принимается отношение наибольшего касательного напряжения к наибольшему приведённому растягивающему напряжению в данной точке

тела т = - . Таким образом, прямые, проведённые из начала коорди-

нат диаграммы под определённым углом к оси абсцисс, тангенс которого равен ш, характеризуют то или иное напряжённое состояние, возникшее в элементарном объёме тела в результате действия внешних усилий. На фиг. 657 нанесено несколько таких прямых (лучи 1-7). Луч 7, соответствующий всестороннему равномерному растяжению, при котором п,ах =

т = 0, совпадает с осью абсцисс о, луч 7, соответствующий различным

случаям всестороннего неравномерного сжатия, при которых а равно

нулю (или меньше нуля) и, следовательно, w = co, совпадает с осью ординат Tjjgj. (Случаю всестороннего равномерного сжатия, когда, благодаря

отсутствию сдвигов и удлинений, Tjjjg и аа равны нулю, отвечает начало координат - точка О.)

Остальные лучи, характеризующие любые другие промежуточные виды напряжённого состояния, располагаются между лучами 1 и 7. Так, например,

осевое растяжение [шах = тх fn==0,5] изображается лучом 3; кручение