Все точки, лежащие на поверхности цилиндра, изображают предельные напряжённые состояния материала, соответствующие началу пластических деформаций. Если мы воспользуемся теорией наибольших касательных напряжений, то предельной поверхностью будет шестигранная призма с той же осью, что и цилиндр; длина стороны шестиугольного основания равна:

Вообще уравнение предельной поверхности имеет вид (для ненаклёпанного материала):

<j2, <j3, <Jt) = 0, (38.5)

где fi - определённая функция главных напряжений и предела текучести; вид этой функции зависит от принятой теории прочности. Учитывая влияние упрочнения, мы должны постоянную величину заменить переменной с; с наклёпом радиус нашего цилиндра (предельной поверхности) будет меняться.

В. Обратимся теперь к теориям прочности, основанным на изучении явлений разрушения материала.

Как известно (§ 249), разрушение от среза практически невозможно без предварительного прохождения через стадию более или менее значительных пластических деформаций, обусловленных касательными напряжениями. Поэтому в качестве теории разрушения путём среза при сложном напряжённом состоянии следует принять или, как более простую, теорию наибольших касательных напряжений, или энергетическую теорию. В первом случае .за характеристику сопротивления срезу должна быть принята величина

1) См. проф. Дружинин С. И. и проф. Я г н Ю. И., Сопротивление материалов, 1933.

Если мы условимся изображать каждый из сдвигов 71, Ys и вектором, расположенным в соответствующей плоскости, то равнодействующий сдвиг {fi будет лежать в плоскости, равнонаклонённой к главным осям. Эта площадка не случайно определяет условие прочности, она является плоскостью сдвига, который отражает на себе влияние всех трёх главных напряжений.

Условие (38.2) относится к ненаклёпанному материалу; чтобы при помощи его получить сопротивление пластическим деформащям для сложного напряжённого состояния при постепенном росте пластических деформаций, достаточно подставить в правую часть уравнения (38.2) вместо Oj переменную величину о, полученную в опытах при простом растяжении.

Таким путём мы можем получить полную механическую характеристику сопротивления пластическим деформациям в самом общем случае. Если бы мы попытались представить геометрически эту характеристику, то сделать это так просто, как для случая линейного напряжённого состояния, не удастся. Можно условиться изображать напряжённое состояние элемента материала точкой трёхмерного пространства с координатами, равными главным напряжениям.

Уравнение типа (38.2) тогда окажется уравнением некоторой поверхности; в случае использования энергетической теории это будет i) цилиндрическая поверхность с осью, равнонаклонённой к главным осям напряжений, и радиусом, равным:

максимального истинного касательного напряжения Тр (§ 249), во втором - величина касательного напряжения тр (38.2) на площадке результирующего сдвига к моменту разрушения.

Что же касается теории сопротивления отрыву, то для этой цели, как уже указывалось ранее (§ 249), следует выбрать или теорию наибольших нормальных напряжений, или теорию наибольших удлинений. Какую бы из этих теорий мы ни приняли, в общем виде условия для нарушения прочности путём среза и отрыва будут иметь вид, аналогичный уравнению (38.5):

/2(1, V = (срз) (3-)

2. 01?) = о (отрыв), (38.7)

где Тр - сопротивление срезу, а Oqj - сопротивление отрыву (например, приведённое растягивающее напряжение рРр, подсчитанное на основе теории наибольших удлинений). Вид функций /2 /з зависит от принятой теории прочности. Уравнения (38.6) и (38.7), в свою очередь, представляют собой уравнение поверхностей, предельных по срезу и отрыву. Совокупность поверхностей, заданных уравнениями (38.5), (38.6) и (38.7), выделяет в пространстве область, внутри которой точки изображают напряжённые состояния, безопасные в отношении нарушения прочности. Точки же, попадающие на ту или другую предельную поверхность, будут соответствовать напряжённым состояниям материала, при которых наступает то или иное нарушение прочности.

§ 251. Обобщённая теория прочности Мора.

Допуская некоторые отступления от точного вида функций /j, /2 и /о можно упростить вопрос о нахождении предельных поверхностей и свести задачу к нахождению прецельных кривых, расположенных в одной плоскости. Если исходить из теории наибольших касательных напряжений, то, как известно (§ 43), условие прочности будет иметь такой вид:

Условие нарушения прочности за счёт появления пластических деформаций напишется так:

где aj и наибольшее и наименьшее главные напряжения.

Можно рассматривать полученные формулы шире, чем интерпретацию теории наибольших касательных напряжений; можно считать, что эти формулы выражают условие, что нарушение прочности зависит лишь от наибольшего и наименьшего главных напряжений. Мы знаем теперь, что это предположение не вполне верно, что среднее по величине главное напряжение 02 также влияет на прочность материала. Однако известно также, что это влияние незначительно и погрешность от отбрасывания о не превысит в крайних случаях 15%, а в большинстве случаев она будет значительно меньше.

Если принять это упрощающее предположение, то вместо трёхмерного пространства, координаты точек которого изображаются главными напряжениями, мы получим плоскость с осями Oj и 03; предельные поверхности /1, /з и Д обратятся в кривые, расположенные в этой плоскости.

Напряжённое состояние материала может быть изображено точкой с координатами Oi п а а может быть с большей полнотой изображено кругом

§ 251]

ОБОБЩЁННАЯ ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА

Мора, построенным на главных напряжениях и в системе прямоугольных координат а и X (§ 37). Этот способ изображения напряжённого состояния более полон, потому что он характеризует напряжённое состояние материала в рассматриваемой точке не только величиной главных напряжений Oj и Og, но и напряжениями сих, действующими по разным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку. Если напряжения и достигают таких величин, что вызывают предельное напряжённое состояние, при котором происходит нарушение прочности того или иного вида, то соответствующий круг Мора будет называться предельным. На фиг. 654 изображены предельные круги I и 2 при простом растяжении и сжатии для материала, обладающего разной величиной предела прочности при растяжении и сжатии (чугун). Длина АО изображает предел прочности при растяжении, а ОВ - при сжатии. Если мы будем менять предельное напряжённое состояние от простого растяжения до простого сжатия, умень- - -.

шая положительное aj от OA до нуля *

и увеличивая (по абсолютной величине) отрицательное Og от нуля до ОВ то предельный круг Мора 1 постепенно перейдёт в предельный круг 2.

Промежуточным предельным напряжённым состоянием будет соответствовать непрерывный ряд предельных кругов Мора. При постепенном переходе круга 1 в круг 2 эта серия кругов даст нам некоторую кривую, показанную на фиг. 654 пунктиром, являющуюся огибающей для семейства предельных кругов Мора. Эта огибающая и будет предельной кривой, заменяющей совокупность кривых /з и или /i и f, каждый круг Мора, касательный (по свойству огибающей) к этой кривой, будет соответствовать одному из предельных напряжённых состояний.

Огибающая пересечёт ось абсцисс в некоторой точке S, соответствующей всестороннему растяжению с предельным напряжением 0S\ действительно, в вершине огибающей круг Мора обратится в точку, следовательно, напряжения Qi иCj, а значит Hag, будут равны между собой. С противоположной стороны предельная кривая остаётся незамкнутой, ибо невозможно разрушить материал путём всестороннего равномерного сжатия.

Если пределы прочности при растяжении и сжатии равны (сталь), то огибающая идёт около начала координат параллельно оси абсцисс (фиг. 655).

Обычно построение огибающей упрощают; так как на практике чаще приходится встречаться с напряжёнными состояниями, изображаемыми кругами Мора, расположенными между 1 и 2 (фиг. 654), то соответственную часть огибающей заменяют просто прямой, касательной к этим кругам. Уменьшая теперь масштаб чертежа в k раз, где k - коэффициент запаса, получаем уже не предельные круги Мора, а круги, изображающие допускаемые

Фиг. 655.