§ 228]

НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ СТЕРЖНЯ

Схематически этот случай соответствует удару призматического стержня весом Q о неподвижную плоскость (фиг. 600). Высота падения стержня пусть будет Л, площадь поперечного сечения F, длина /, объёмный вес у. Кинетическая энергия стержня в момент удара равна TQ = iFlh = Qh. Мы считаем, что эта энергия целиком переходит в потенциальную энергию деформации стержня. В момент удара, как мы видели выше, между стержнем и неподвижной плоскостью возникают давления, равные силе инерции ударяющего тела, р

слагающейся из сил инерции отдельных его частиц. Принимая, что в момент удара все элементы стержня испытывают одно и то же ускорение (направленное вверх), получаем, что напряжения в нашей системе будут такими же, как будто ко всем частицам падающего стержня были приложены равномерно распределённые по объёму силы инерции (фиг. 601).

Таким образом, динамическая нагрузка стержня будет подобна статической нагрузке его собственным весом. Поэтому зависимость между его потенциальной энергией деформации при ударе и наибольшим динамическим напряжением (в нижнем сечении) сгд будет такой же, как связь между U. и <стйх Р статической нагрузке собственным весом стержня, опёртого нижним концом. В этом случае напряжения по любому сечению, отстоящему на х от верхнего конца (фиг. 601), равны (§ 29):

7777777777777Ш7Ш7Ш

Фиг. 600.

Фиг. 601.

a = YX = ac у,

acj ax = T ~ P О нижнему сечению.

Энергия, накопленная в элементе длиной dx у сечения с абсциссой лг, равна:

dUdx F-Fdx.

cmax с,л:

2Е /2

Вся энергия равна:

При ударе

Приравнивая величину бд кинетической энергии удара Го - yFlh = Q/i, получаем:

Ддтах 6Я

откуда

Так как Л = -, где t/-скорость стержня в момент удара, то

(36.27)

Полученный результат можно сформулировать ещё иначе:

-,/ б£т7 1/зтет

дтах= / -Jf == У -Yi-> (36.28)

Т. е. напряжение в ударяющем стержне будет таким же, как будто он получил удар от другого стержня с живой силой, в три раза большей.

Q) и б) [Т

§ 229. Напряжения в стержнях переменного сечения при ударе.

В § 227 показано, что для снижения напряжений при продольном ударе следует увеличивать объём стержня. Однако надо помнить, что это правильно лишь для того случая, когда площадь сечения

стержня по его длине не меняется,- напряжения во всех сечениях одинаковы. Совершенно иначе может обстоять дело, если разные участки длины стержня будут иметь неодинаковую площадь поперечного сечения (фиг. 602).

Мы знаем (формулы (36.16) или (36.17)), что динамическое напряжение при продольном ударе зависит и от площади поперечного сечения стержня и от его податливости, деформируемости. Наибольшие напряжения в стержне с выточкой (фиг. 602, а) будут, таким образом, определяться величиной наименьшей площади (в месте выточки) и сжимаемостью стержня, которая зависит от деформаций уже всего стержня, а не только его ослабленной части.

Понижение напряжений в этом случае может быть достигнуто двумя путями. Можно увеличить площадь в наиболее ослабленном месте (если конструкция это позволяет) - вернуться к стержню одного диаметра (фиг. 602, б)\ в этом случае мы увеличиваем площадь и в меньшей степени уменьшаем сжимаемость. Сила инерции немного возрастёт, но в большей степени возрастёт площадь в ослабленном сечении, и напряжение понизится.

Однако обычно этот (первый) путь неприменим, ибо конструкция может требовать сохранения выточки. Тогда для повышения прочности стержня необходимо увеличить его податливость, уменьшая площадь его сечения в утолщённой части. Если мы выполним весь стержень диаметром d (фиг. 602, в), то этим значительно увеличим сжимаемость стержня, уменьшим силу Рд и динамическое напряжение. Таким

Фиг. 602.

Ч7Ш;

§ 230] ПРАКТИЧЕСКИЕ выводы из ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 713

образом, снижение напряжений может быть достигнуто двумя путями, ведущими к выравниванию напряжений, -увеличением объёма путём уничтожения выточки и уменьшением объёма за счёт уменьшения площади утолщённой части.

Эти выводы легко проверить расчётом; определим наибольшие динамические напряжения, вызванные одним и тем же продольным ударом с запасом энергии = QH для трёх стержней, показанных на фиг. 602, а, б \i в. Площадь утолщённой части стержня а назо-

вём Fi, а тонкой обозначим -- = 5 и -j- - P- Напряжения

в стержнях найдём по приближённым формулам (36.14) и (36,17). Наибольшее динамическое напряжение в стержне а по формуле (36.14):

Так как

2T,Q -.f 2Т,Е

Напряжения в стержнях постоянного сечения б \\ в найдём по формуле (36.17):

так как

[/7-f(l-/?)]<<1, то оуо.уас.

Так, если ==0,8, а - = 0,1, то у = 0,64 и /7=0,1; в этом

случае вычисления дают: a=l,52a<j; 0 = 0,82(3д= 1,25ао. Таким образом, наличие выточки, уменьшающей диаметр на 207о одной десятой длины стержня, вызывает повышение напряжений на 507о5 если теперь дать этому стержню минимальную площадь по всей длине, то напряжения снизятся примерно на 207о-

Хотя эти подсчёты и сделаны по приближённым формулам, однако найденные таким путём соотношения между о, и оказываются достаточно близкими к тем, которые могут быть получены по более точной формуле (36.8), если энергия удара не очень мала.

§ 230. Практические выводы из полученных результатов.

Результаты приведённых выше подсчётов имеют громадное практическое значение. Прежде всего они показывают, что характер сопротивления стержней удару качественно резко отличается от сопротивления их статической деформации. Утолщение одной половины