Необходимо отметить, что в то время как пренебрежение единицей

в подкоренном выражении допустимо уже при -10 (неточность

приближённых формул будет не больше 5Д), пренебрежение единицей, стоящей перед корнем, допустимо лишь при очень большой

величине отношения Так, например, для того чтобы приближённые формулы (36.14) и (36.15) давали погрешность не более 107о 2

отношение -г- должно быть больше 110.

Формулы 8д = /ГдО и pj = KPcy в которых /Гд выражается через

(36.12), могут быть использованы также для решения задачи

о встречном ударе тел, двигающихся с некоторой скоростью, при определении напряжений в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, вызванных резким повышением давления газа при вспышке горючей смеси и др. На этом основании их можно считать общими формулами для расчёта на удар.

Обобщая сказанное выше, можем наметить следующий общий приём решения задач на определение напряжений при ударе. Применяя закон сохранения энергии, надо:

1) вычислить кинетическую энергию ударяющего тела Т;

2) вычислить потенциальную энергию t/д тел, воспринимающих удар, под нагрузкой их силами инерции при ударе; потенциальная энергия должна быть выражена через напряжение (ад, Тд) в каком-либо сечении, через деформацию (удлинение, прогиб) или через силу инерции Рд ударяющего тела;

3) приравнять величины t/д и Г и из полученного уравнения найти или непосредственно динамическое напряжение, или деформацию, а по ней, пользуясь законом Гука, напряжение или силу Рд и соответствующие ей динамические напряжения и деформации.

Описанный общий приём расчёта на удар предполагает, что вся кинетическая энергия ударяющего тела целиком переходит в потенциальную энергию деформации упругой системы. Это предположение не точно. Кинетическая энергия падающего груза частично превращается в тепловую энергию и энергию неупругой деформации основания, на которое опирается система.

Вместе с тем при высоких скоростях удара деформация за время удара не успевает распространиться на весь объём ударяемого тела и в месте удара возникают значительные местные напряжения, иногда превосходящие предел текучести материала. Так, например, при ударе свинцовым молотком по стальной балке большая часть кинетической энергии превращается в энергию местных деформаций. Подобное же явление может иметь место даже и в том случае, когда скорость удара мала, по жёсткость или масса ударяемой конструкции велика.

Фиг. 598. и -Sl--ЗЕ.

Для вычисления динамического коэффициента может быть выбрано одно из следующих выражений:

После этого без затруднений вычисляются Д/д, и Рд.

Указанные случаи соответствуют большим величинам дроби

Поэтому можно сказать, что описанный выше метод расчёта при-2/У

меним, пока дробь не превышает определённой величины. Более

точные исследования показывают, что ошибка не превышает 107о> 2

если - ;100. Так как эта дробь может быть представлена в виде Т

отношения JJ- (см. выше), то можно сказать, что изложенный ме-

mod применим, пока энергия удара превышает не более чем в 100 раз потенциальную энергию деформации, соответствующую статической нагрузке конструкции весом ударяющего груза. Учёт массы ударяемого тела при ударе (см. § 231) позволяет несколько расширить пределы применимости этого метода в тех случаях, когда масса ударяемого тела велика.

Более точная теория удара излагается в курсах теории упругости.

§ 227. Частные случаи вычисления напряжений и проверки прочности при ударе.

А. Вид формул, выведенных в § 226, показывает, какие большие качественные различия ведёт за собой количественное изменение периода действия силы на тело.

Рассмотрим некоторые случаи удара при простейших деформациях. При этом для нахождения коэффициента динамичности применим основные формулы (36.10) и (36.12) и прибли-жённую формулу (36.15). 7 Для определения 8д, /?д и Рд используем зависимости:

h = K,K, р, = К,р, и P, = K,Q.

В случае продольного растягивающего или сжимающего удара (фиг. 598)

X а/ 0 Q

К = К = -£р, Рс = °с = у

§ 227] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 707

Приближённая формула для вычисления напряжений в данном частном случае получает такой вид:

Замечаем, что как при статической, так и при динамической нагрузке напряжение в сжатом стержне зависит от величины сжимающей СИЛЫ и от площади поперечного сечения стержня.

Но при статическом действии груза Q передающаяся на стержень сила равна Q и не зависит от размеров и материала стержня, при ударе же величина силы Рд, вызывающей напряжения в стержне, зависит от ускорения, передающегося от ударяемого тела на ударяющее, т. е. от величины промежутка времени, в течение которого изменяется скорость ударяющего тела. В свою очередь этот промежуток времени зависит от величины динамической продольной деформации А/д, от податливости стержня. Чем эта величина больше, т. е. чем меньше модуль Е и чем больше длина стержня /, тем больше продолжительность удара, меньше ускорение и меньше давление Рд.

Таким образом, при равномерном распределении напряжений, одинаковом во всех сечениях стержня, динамическое напряжение будет уменьшаться с увеличением площади поперечного сечения стержня и с увеличением его податливости (т. е. с увеличением длины и уменьшением модуля упругости £); именно поэтому смягчают удар всякие рессоры и пружины, расположенные между ударяющимися деталями. Всё это и отражают приведённые выше формулы. В частности, исходя из формул (36.17), с известным приближением можно считать, что при продольном ударе величина напряжений зависит уже не от площади, а от объёма стержня.

Найдя по формулам (36.8) и (36.16) или (36.17) величину динамического напряжения, мы можем теперь написать условие прочности в виде

ад<[ад], (36.18)

где [ад] - допускаемая величина нормальных напряжений при ударе,

равная для пластичного материала [ад] = -. Величину коэффици-

ента запаса можно было бы выбрать равной величине основного коэффициента запаса при статическом действии нагрузок (т. е. 1,5-ь 1,6, § 17), так как динамичность нагрузки уже отражена в формулах (36.16) и (36.17); однако, ввиду некоторой упрощённости изложенного метода расчёта, этот коэффициент принимают несколько повышенным - до 2. Кроме того, обычно в этих случаях применяют материал более высокого качества (в отношении однородности и пластических свойств).