быть падение груза на конец призматического стержня, другой конец которого закреплён (продольный удар), падение груза на балку, лежащую на опорах (изгибающий удар), и т. п.

В течение очень короткого промежутка времени упругая система С испытает некоторую деформацию. Обозначим через перемещение тела В (местной деформацией которого пренебрежём) в направлении удара. В упомянутых частных случаях при продольном ударе за перемещение соответственно нужно считать продольную деформацию стержня А/д, при изгибающем ударе - прогиб балки /д в ударяемом сечении и т. п. В результате удара в системе С возникнут напряжения /?д (од или Тд - в зависимости от вида деформации).

Полагая, что кинетическая энергия Т ударяющего тела полностью переходит в потенциальную энергию f/д деформации упругой системы, можем написать:

Т=и, (36.1)

Так как к моменту окончания деформации ударяющее тело пройдёт путь Н-\-Ь, то его запас энергии будет измеряться произведённой им работой Лд и будет равен:

Г = Лд=р(Я+д). (36.2)

Вычислим теперь f/д. При статической деформации потенциальная энергия численно равна половине произведения действующей силы на соответствующую деформацию (§ 125):

U, = ~Q\. (36.3)

Статическая деформация 8 в ударяемом сечении может быть вычислена по закону Гука, который в общем виде можно записать так:

\ = Q:c или Q = c\.

Здесь (см. § 222) с - некоторый коэффициент пропорциональности (называемый иногда жёсткостью системы); он зависит от свойств материала, формы и размеров тела, вида деформации и положения ударяемого сечения. Так, при простом растяжении или сжатии 8.=

= А4= и с = ; при изгибе балки, шарнирно закреплённой

по концам, сосредоточенной силой Q посредине пролёта 8. = щах =

= 4817 = -л-

Таким образом, формула (36.3) может быть переписана так:

В основу этой формулы положены две предпосылки: а) справедливость закона Гука и б) постепенный - от нуля до окончательного значения - рост силы Q, напряжений и пропорциональных им деформаций 8.

1 + 1/ l+f] = ,8c. (36.7)

Так как напряжения и усилия по закону Гука пропорциональны деформации, то

/д=/с [ 1 + + ] = (36.8)

/д = 9 [l + j/ ! +1 J = д<?. (3S.9)

Опыты с определением модуля упругости по наблюдениям над упругими колебаниями стержней показывают, что и при динамическом действии нагрузок закон Гука остаётся в силе, и модуль упругости сохраняет свою величину. Что касается характера нарастания напряжений и деформаций, то и при ударе деформация происходит, хотя и быстро, но не мгновенно; постепенно растёт в течение очень короткого промежутка времени от нуля до окончательного значения; параллельно росту деформаций возрастают и напряжения /?д.

Реакция системы С на действие упавшего груза Q (назовём её Рд) является следствием развития деформации Ь; она растёт параллельно Вд от нуля до окончательной, максимальной величины и, если напряжения не превосходят предела пропорциональности материала, связана с ней законом Гука:

Ь, = Р,:с,

где с - упомянутый выше коэффициент пропорциональности, сохраняющий своё значение и при ударе.

Таким образом, обе предпосылки для правильности формулы (36.3) принимаются и при ударе. Поэтому можно считать, что вид формулы для f/д при ударе будет тот же, что и при статическом нагружении системы С силой инерции Рд, т. е.

/д=Тд8д=8=8 (36.4)

(Здесь учтено, что по предыдущему c = Q:b,) Подставляя значения Г и f/д в уравнение (36.1), получаем:

(?( +8,) = -8J (36.5)

Ч - Kh - К = О- (36.6)

Отсюда

или, удерживая перед радикалом для определения наибольшей величины деформации системы в направлении удара знак плюс, получаем:

/д=1 + /1+;. (36.12)

Б. Если мы в формулах (36.7) и (36.8) положим Я=0, т. е. просто сразу приложим груз Q, то 8д = 28с и Pj = 2p; при внезапном приложении силы Q деформации и напряжения вдвое больше, чем при статическом действии той же силы.

Наоборот, если высота падения груза Н (или скорость v) велика по сравнению с деформацией 8., то в подкоренном выражении формул (36.7) - (36.11) можно пренебречь единицей по сравнению

с величиной отношения -, Тогда для 8д и /7д получаются следующие выражения:

К=к{1+]/Щ) и р=р(1-/Щ). (36.13)

При очень большой величине отношения можно пренебречь и единицей, стоящей перед корнем, т. е. написать:

Дс/ И Р, = Р.УЩ. (36.14)

Динамический коэффициент в этом случае определяется по формуле

Из этих формул видно, что величина динамических деформаций, напряжений и усилий зависит от величины статической деформации, т. е. от жёсткости и продольных размеров ударяемого тела; ниже это дополнительно будет показано на отдельных примерах. Величина

KIJ-/ (36.10)

в данном случае представляет собой динамический коэффициент. Заменяя в формуле (36.10) на где v - скорость ударяющего тела в начальный момент удара, получаем:

1 +ll+l-. (36.11J

Кроме того, так Kaic

где T=QH - энергия ударяющего тела к моменту начала удара, то выражение для динамического коэффициента может быть представлено ещё и в таком виде: