Нефть и песок О стали Компрессор - подбор и ошибки Из истории стандартизации резьб Соперник ксерокса - гектограф Новые технологии производства стали Экспорт проволоки из России Прогрессивная технологическая оснастка Цитадель сварки с полувековой историей Упрочнение пружин Способы обогрева Назначение, структура, характеристики анализаторов Промышленные пылесосы Штампованные гайки из пружинной стали Консервация САУ Стандарты и качество Технология производства Водород Выбор материала для крепежных деталей Токарный резец в миниатюре Производство проволоки Адгезия резины к металлокорду Электролитическое фосфатирование проволоки Восстановление корпусных деталей двигателей Новая бескислотная технология производства проката Синие кристаллы Автоклав Нормирование шумов связи Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
Главная --> Промиздат -->  Коэффициент поперечной деформации 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 ( 229 ) 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282

696 УЧЁТ сил ИНЕРЦИИ и К0ЛЕБЛ1П1Й [гЛ. XXXV

Подставляя выражения для U и Т= Ti-]- 72 в уравнение (35.29) и дифференцируя его по /, имеем:

Отсюда ясно, что для учёта массы балки при определении частоты и периода свободных колебаний следует её считать невесомой,

а к весу груза Q прибавить = 0,486 веса балки. Величина

do оо g

называется приведённой массой балки.

Заметим, что если за изогнутую ось балки приближённо взять

синусоиду j;=/sin то приведённая масса получилась бы равной

не , а 4--. что достаточно близко к более точному значению.

Зо g 2 g *

Определённая таким образом величина приведённой массы балки получена всё же в предположении, что масса балки невелика по сравнению с массой груза Q, так как мы пренебрегаем влиянием собственного веса балки на кривую изгиба её оси; уравнение же изогнутой оси (35.31) соответствует случаю приложения одного сосредоточенного груза посредине пролёта.

Г. Возьмём теперь другой крайний случай, когда масса балки очень велика по сравнению с грузом Q или когда колеблющаяся балка загружена сплошной, равномерно распределённой нагрузкой q (в которую включён и собственный вес балки). Тогда кривая изогнутой оси будет иметь уравнение (см. § 111):

У = -Ш] [ - + X*] = - - 21 + х%

где /-прогиб посредине пролёта.

Живая сила элемента балки длиной dx, находящегося на расстоянии X от левой опоры, выразится через скорость среднего сечения балки / такой формулой:

Вся кинетическая энергия балки будет равна: Потенциальная энергия балки равна:

492 г

FJ Г ldy\ . EJ

{x-lx)

125



§ 224]

ПРИМЕРЫ

Подставляя выражения для U \\ Т ъ уравнение (35.29) и дифференцируя его по tj имеем:

31 \63

Приведённая масса балки в этом случае равна: = 0,492.

Таким образом, при подсчёте периода собственных колебаний уравнение кривой изгиба играет весьма малую роль, лишь бы был сохранён общий характер изогнутой оси балки.

Для шарнирно-опёртой балки при изгибе её по кривой без точек перегиба можно всегда принимать за уравнение изогнутой оси урав-

нение синусоиды с одной полуволной j;=/sin-у и приведённую массу

балки считать равной 0,5 - .

Итак, при определении первой частоты свободных колебаний системы с распределённой массой можно считать систему невесомой, а к массе сосредоточенного груза добавлять приведённую массу системы; операция приведения имеет силу и в том случае, если (5 = 0.

§ 224. Примеры.

Пример 135. Стержень длиной / переменного сечения, несущий на одном конце груз Q (фиг. 594), вращается с угловой скоростью о) вокруг оси, к которой он прикреплён другим концом. Расстояние центра тяжести груза Q от оси вращения равно г.

Найти зависимость площади сечения стержня от расстояния сечения X от свободного конца стержня при условии, что напряжения во всех сечениях равны [а]. Объёмный вес материала 7.

Каждая точка стержня с абсциссой х испытывает центростремительное ускорение, равное а)2(/ -х); поэтому для определения напряжений надо нагрузить все элементы стержня силами инерции, направленными от центра и равными массе элемента, умноженной на со2 (/ - х). Элемент длиной dx между двумя смежными сечениями с абсциссами X и x + dXy площади которых равны и Fjc + dFxy нагружён силой

инерции х (/ - х) (1)2, где g - ускорение силы тяжести.

Сечения стержня должны меняться таким образом, чтобы эта сила инерции вызвала на площади dFj напряжение о] (см. расчёт для стержня равного

сопротивления при растяжении и сжатии в § 29). Таким образом, получаем дифференциальное уравнение для F.:


Фиг. 594.



48-8. 10*. 12. 203. 981 1

Критическое значение угловой скорости вращения вала двигателя, при котором амплитуда колебаний балки неограниченно возрастает, будет

(о =0)0 = 168 -i-, сек

что соответствует

30 30

кр=--кр=-зД4

а)кр=-з- . 168= 1605 об/мин.

Найдём наибольшие напряжения в балках при заданном числе оборотов

, о 3,14 . 1500 1

двигателя Ло = 1500 об/мин или при щ = ~-=2----= 143 . Из

* 30 30 сек

уравнений (35.20) и (35.28) § 222 следует, что

Так как

Ql 5Q,l> 4q+5q, ~ 96EJ 384EJ mEJ

fH 8Q,b>R 8 5 10 nnnniQ9S

7q = m+m~g = (4-500 + 5.23)981 = 0.0 >1928<o .

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

Для определения постоянной С полагаем = О, тогда Fx - Fq - площади на конце стержня. Эта площадь определяется в зависимости от силы инерции груза Q, растягивающей концевой элемент стержня:

Подставляя в уравнение для F. значение \пЕо = С, получаем:

70)2

Пример 136. Двигатель весом Q = 500 кг укреплён (посредине) на двух деревянных балках прямоугольного поперечного сечения, каждая из которых лежит на двух опорах и имеет пролёт /=160 см (фиг. 590). Сечение каждой балки 12 X 20 слс, вес Qi = 23 кг, материал - сосна с модулем упругости £ = 8-10 кг1см и допускаемым напряжением [г] = 100/сг/слс. Неуравновешенные массы двигателя условно могут быть заменены вращающимся грузом (?2 = с радиусом вращения =10 сж и угловой скоростью вращения со, равной скорости вращения вала двигателя. Двигатель должен работать при щ - 1500 об/мин. Требуется установить, является ли это число оборотов безопасным для прочности балок. Силами сопротивления при колебаниях можно пренебречь.

Определим частоту свободных колебаний балки:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 ( 229 ) 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282