\\\N\\\\NS

положения равновесия. Составим выражения для U и Т колеблющейся системы: груз - стержень.

Потенциальная энергия системы по сравнению с положением равновесия изменится ти=и-Uy гле [/ - потенциальная энергия системы в начальный момент (в положении равновесия), а [7 - в момент t.

Потенциальную энергию груза Q в начальный момент обозначим через Uq; потенциальная энер-

гия стержня в тот же момент равна , где

Л/с - статическая деформация стержня от груза Q,

Таким образом, / .г*

t:;;;j

Фнг. 592.

В момент /, когда груз переместится на расстояние X и стержень получит такую же дополнительную деформацию х, потенциальная энергия груза уменьшится на Qx, а сила упругого сопротивления стержня и статическая деформация его увеличатся в отпо-

шении --. Поэтому

(35.30)

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии груза Ту и стержня Г. Кинетическая энергия груза

iГl = (x) При вычислении кинетической энергии стержня учтём,

что в некоторый момент t скорость груза и нижнего конца стержня равна х\ а верхнего - нулю. Скорости промежуточных сечений будут иметь значения, заключающиеся между этими двумя.

Предположим, что при колебаниях перемещения всех сечений стержня по отношению к закреплённому концу меняются по тому же закону, что и при статическом растяжении, т. е. пропорционально расстоянию от закреплённого сечения. Таким образом (фиг. 592), если нижнее сечение стержня переместилось на величину х, то сечение, отстоящее от места защемления на переместится на величину х-~,

Таким образом, живая сила стержня равна живой силе груза, имеющего массу 3 т. е. равную трети массы стержня, и двигающегося с той же скоростью х\ что и груз Q. Полная же кинетическая энергия системы груз - стержень будет:

7-=r. + r, = ((Q+f).

Подставляя 7 и выражение U (35.30) в уравнение (35.29), дифференцируем последнее по и находим:

Здесь Д/пр - статическая деформация от груза Q + -. Полученное нами дифференциальное уравнение движения с учётом массы колеблющегося стержня отличается от уравнения (35.23) только величиной множителя при х и полностью совпадает с ним, если пренебречь массой стержня. Поэтому поправка на массу стержня, которую нужно ввести в расчёты предыдущего параграфа, состоит в том, что при определении частоты свободных колебаний стержня статическая деформация его вычисляется не от груза Q, но от груза Q, сложенного с одной третью веса стержня. Таким образом, учёт массы колеблющегося стержня уменьшает частоту свободных колебаний и увеличивает их период. Величину называют приведённой массой стержня.

В. В качестве второго примера рассмотрим балку на двух шарнирных опорах с грузом Q посредине пролёта (фиг. 593).

Обозначим через /=57 наибольший статический прогиб балки под действием груза Q, а через z - переменный добавочный про-

скорость этого сечения будет равна x-j- Живая сила элемента стержня длиной dly отстоящего на S от закреплённого конца, будет равна:

Кинетическая энергия всего стержня будет равна сумме величин dT,iy т. е.

гиб среднего сечения балки при колебаниях. Предположим, что при свободных колебаниях добавочные прогибы балки меняются по её длине по тому же уравнению, что и при статической нагрузке силой Q; это последнее имеет вид (см. § 112): Q/3 ЗГх - 4х

4SEJ

(35.31)

Таким образом, если при колебаниях среднее сечение балки

дополнительно переместится на z от положения статического равновесия, то сечение на расстоянии х от левого конца переместится на

у = (ЗРх-4х

Скорость колебаний того сечения будет

Живая сила элемента балки длиной dx выразится формулой

а кинетическая энергия всей балки будет равна:

n=2z(ZPx-4xfdx =~z. (35.32)

Кинетическая энергия груза равна:

Так как потенциальная энергия при изгибе балки вычисляется по С М dx dv

формуле f/= \ -JET* = *5j2

Но при перемещении среднего сечения балки на расстояние z от

flfv 24

положения статического равновесия -j = - -jz-y поэтому

CEJfdvy-, о EJC(24zx\, 2AFJ .