Силу сопротивления среды R на практике в довольно большом числе случаев можно считать пропорциональной первой степени скорости колебательного движения, т. е. R = rxf, Если возмущаю-ш.ая сила 5 меняется по синусоидальному закону:

5 = Я sin <

где Я=5тах> а О) - частота возмущающей силы, то уравнение (35.24) может быть переписано так:

х-у-гх-\-сх = Нsin (о/

sin 0).

(35.25)

Здесь л = -так называемый коэффициент затухания колебаний,

а - найденная выше частота свободных колебаний системы, возникающих при отсутствии как возмущающей силы 5, так и силы сопротивления R,

Решение уравнения (35.25) приводит к такому выражению для амплитуды А вынужденных колебаний при наличии сил сопротивления:

Н gti 1

г L \<о/ J \щ1 \щ1

Здесь

щ) J

(35.26)

gH gH *Q Я J,

- статическая деформация системы от наибольшей величины возмущающей силы S (5п1ах = Я). Отношение амплитуды вынужденных колебаний А к величине деформации 8 называется коэффициентом нарастания колебаний р:

(35.27)

Таким образом, формула (35.21) для динамического коэффициента Лд получает теперь такой вид:

(35.28)

сшах

В этом выражении не учтена амплитуда собственных колебаний системы, которая может иметь сколько-нибудь существенное

значение лишь в самом начале процесса колебаний; при наличии сил сопротивления она довольно быстро уменьшается с течением времени.

На фиг. 591 приведены графики изменения коэффициента нара стания колебаний В в зависимости от величины отношении - при

разных значениях коэффициента затухания колебаний/2 {отношения

Если частота изменения возмущающей силы близка к частоте св( бодных колебаний системы, т. е. р

- я1, и если величина коэф-

фициента затухания колебаний сравнительно невелика, то зна-менатели формул (35.26) и (35.27) для Лир будут очень малыми, амплитуда колебаний и коэффициент нарастания колебаний будут очень большими (фиг. 591). В этом случае даже небольшая возмущающая сила может вызвать высокие напряжения (явление резонанса).

С увеличением сил сопротивления явление резонанса становится всё менее заметным. Заметим, однако, что силы сопротивления значительно уменьшают величину амплитуды вынужденных колебаний

только вблизи от резонанса [0,75

Фиг. 591.

1,25); при других вели-

чинах отношения влияние сил сопротивления незначительно.

Из формул (35.26), (35.27) и (35.28) и фиг. 591 видно, что если частота со изменения возмущающей силы .S очень мала, то амплитуда колебаний приближается к величине 8я, коэффициент нарастания колебаний стремится к единице и наибольшие напряжения в системе могут быть вычислены как статические напряжения от груза Q и наибольшего значения возмущающей силы 5 (5тах = ). При очень большой частоте изменения возмущающей силы S амплитуда колебаний и коэффициент нарастания колебаний стремятся к нулю, груз Q можно рассматривать как неподвижный; поэтому наибольшее напряжение в системе равно статическому напряжению от груза Q.

Это обстоятельство имеет очень большое практическое значение: оно используется при конструировании разного рода поглотителей

колебаний, сейсмографов, вибрографов и других приборов. В машиностроении амортизаторы, предохраняющие основания машин от усилий, возникающих при колебаниях, подбираются так, чтобы частота собственных колебаний машины на амортизаторах была значительно меньше частоты изменения возмущающей силы.

§ 223. Учёт массы упругой системы при колебаниях.

А. Если колеблющаяся система, несущая груз Q, обладает довольно значительной распределённой массой (число степеней свободы, следовательно, велико), упрощённые расчёты, приведённые в предыдущем параграфе, будут иметь уже значительную погрешность. В этом случае дифференциальные уравнения движения составляются с учётом массы системы. При решении подобного рода задач удобнее исходить не из условий равновесия, па основе которых составлены уравнения (35.23) и (35.24), а из закона сохранения энергии.

Полагая, что количество энергии, сообщённое системе при выведении её из положения равновесия и представляющее собой сумму кинетической и потенциальной энергии груза и упругой системы, при свободных колебаниях остаётся постоянным, получаем уравнение

/7+Г = const. (35.29)

Это уравнение показывает, что при колебаниях происходит непрерывный процесс преобразования энергии из одного вида в другой, не сопровождающийся какими-либо потерями энергии. Когда упругая система достигает одного из крайних положений, в котором скорость колебательного движения равна нулю, а следовательно, равна нулю и кинетическая энергия (Г = 0), потенциальная энергия груза и системы достигает наибольшего значения U = бщах*, наоборот, в положении равновесия 6=0 и Т=Ттгх-

Заметим, что принцип, положенный в основу уравнения (35.29), применим лишь для систем с одной степенью свободы, так как закон сохранения энергии не учитывает обмена энергии, происходящего в системах с несколькими степенями свободы. Таким образом, решение задачи о колебаниях системы с большим числом степеней свободы здесь сводится к простейшей задаче, разобранной в § 222, и мы сможем приближённо найти лишь одну (первую) частоту свободных колебаний.

Рассмотрим теперь некоторые примеры использования уравнения (35.29).

Б. В качестве первого примера исследуем колебания груза Q, подвешенного к нижнему концу призматического стержня длиной /, площадью поперечного сечения F и удельным весом 7 (фиг. 592). Выведенный из положения равновесия и затем предоставленный самому себе груз начнёт совершать продольные колебания около