§ 219]

ВРАЩАЮЩИЙСЯ диск ПОСТОЯННОЙ толщины

между точками А и В, имеют и то и другое ускорения. Ограничиваясь здесь учётом сил инерции, возникающих в шатуне в результате одного только центростремительного ускорения, рассмотрим такое положение шатуна, в котором он перпендикулярен кривошипу, а следовательно, направление центростремительного ускорения в точке А перпендикулярно к оси шатуна. Предположим, что центробежные силы инерции q везде перпендикулярны осп шатуна и по длине его меняются по л1шейному закону от q = qQ в точке А до = 0 в точке В, Это предположение будет тем ближе к истине, чем больше длина шатуна по сравнению с длиной кривошипа. Шатун будем рассматривать как балку на двух шарнирных опорах А

и В. Изгибающий момент достигает наибольшего значения при х = л/

- yY отсчитывается от точки В) и равен (см. § 73):

Так как д = -

qol

9 /3 W ~9 /3 Wg

§ 219. Вращающийся диск постоянной толщины.

Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска.

Рассмотрим наиболее простую задачу о расчёте диска постоянной толщины. Расчёт такого диска положен в основу некоторых приближённых способов расчёта дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчёта толстостенных цилиндров (§ 197). Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения о. и не меняются; осевое напряжение будем считать равным нулю.

Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 586). В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВу необходимо принять во внимание также и силу инерции

Фиг. 586.

направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо уравнения (32.1), выведенного в § 197, будем иметь:

dr g

(35.4)

Уравнение (32.4) того же параграфа (условие совместности деформаций) остаётся в силе и для данной задачи, т. е.

Подставляя в это уравнение значение разности - из (35.4), находим:

(35.5) [м:

(35.6)

Дифференцируя уравнение (35.4) по г и подставляя в него вместо его значение из формулы (35.6), получаем линейное дифференциальное уравнение

- dr

Td?r)

Интегрируя это уравнение, находим:

Из (35.4) и (35.7) следует, что

(35.7)

(35.8)

В формулах (35.7) и (35.8) A и В - постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска. При определений постоянных рассмотрим два случая: 1) диск с отверстием в центре и 2) сплошной диск. При этом вначале предположим, что края диска свободны от внешних усилий.

Для диска с центральным отверстием напряжение а. должно быть равно нулю как при г = Tj, так и при г = Га (фиг. 586). Эти условия на контуре при подстановке их в формулу (35.7) приводят к уравнениям:

откуда

Пидставляя значения Л и fi в формулы (35.7) и (35.8), получаем:

§ 219]

ВРАЩАЮЩИЙСЯ ДИСК ПОСТОЯННОЙ толщины

Полагая для краткости можем написать:

7а)2г = р и

3 + х -

1 + а2

(35.9) (35.10)

Замечаем, что напряжение обращается в нуль при р = 1 и р = а, т. е. на внутреннем и наружном контурах диска; при значениях р между 1 и а напряжение положительно и, как не тру дно убедиться, достигает наибольшей величины при р = =

(35.11)

Напряжение при всех значениях р также положительно и наибольшей величины достигает у внутреннего края диска, где р = а:

Ытах = Р[2 + (1-/ ) 1.

(35.12)

Сравнивая (35.11) и (35.12), убеждаемся, что (а/)п,ах всегда больше (5r)max. Поэтому при проверке прочности диска как по теории наибольших касательных напряжений, так и по

OrUOi

энергетической теории условие прочности должно быть написано в таком виде:

(-/)max = T-Vf[2-f

+ (1~ш)а2].

[а]. (35.13)

На фиг. 587 представлены кривые изменения значений

а{ = - вдоль радиуса диска

для разных а от О до 1 при jx = 0,3. Там же приведена кривая для == - при а=0,2. Замечаем, что наибольшие зна-чения напряжения (35.12) (у внутреннего края диска) мало меняются с изменением радиуса отверстия, т. е. величины а (кривая аЬ). При a s0, т. е. при очень маленьком радиусе центрального отверстия,

у края отверстия имеет место резкое изменение напряжения - концентрация напряжений (кривая acd). При этом

Фиг. 587.