Найдя из чертежа зависимость между этими удлинениями, мы получим добавочное уравнение, связывающее между собой неизвестные усилия в стержнях. Из треугольника AiAB имеем:

АВ = AAi cos а или А/ = А/3 cos а. (4.2)

Выразим A/i и A/g через усилия Ni и N, Для этого необходимо знать площади этих стержней. Здесь мы подходим к важной особенности статически неопределимых систем: для нахождения усилий в стержнях необходимо предварительно задаваться размерами их поперечных сечений или их отношениями.

Пусть площади сечений стержней будут и F\ модуль упругости стали обозначим и модуль упругости меди Е. Тогда

4/, = 0.4/.= . ,4.3)

Подставляя эти значения А/ и A/g в уравнение (4.2), получаем:

Так как из треугольника ABD (фиг. 41) следует, что

/д = /1 COS а,

M=A3cos4. (4.4)

Таким образом, путём рассмотрения совместности деформаций системы получено дополнительное уравнение, связывающее Ai и Лз.

Условие совместности деформаций имело место и в статически определимых конструкциях, но там оно не налагало никаких ограничений на распределение усилий; для таких конструкций возможна только одна система усилий, удовлетворяющая условиям равновесия; так как там число неизвестных равно числу уравнений статики, соответствующая система деформаций удовлетворяет и условиям совместности. Например, для конструкции, изображённой на фиг. 38, усилия в стержнях вполне определяются при малых деформациях из условий равновесия точки А\ оба стержня могут получить вызываемые этими усилиями удлинения без нарушения связи их друг с другом, - условие совместности деформаций будет выполнено автоматически.

Наоборот, в статически неопределимых конструкциях может быть сколько угодно систем усилий, для которых выполнены уравнения равновесия, так как число неизвестных больше числа этих уравнений; условие совместности деформаций отбирает из всех этих возможных комбинаций усилий ту комбинацию, которая будет иметь место в действительности.

Отсюда

и из (4.4)

з + 2ЛзС08а = д. Аз=-- (4.5)

Q cJl cos2 а

=--= Л.. (4.6)

l+2§COS3a

Из полученных формул видно, что величина усилий N зависит не от абсолютных величин площадей F и модулей Е, а от их отно-

тений. Задаваясь различными соотношениями п = , мы будем

получать различные комбинации усилий Л, N, N,

По величинам этих усилий и допускаемым напряжениям можно теперь найти и сами величины и F из условий, что

К]. (4.7)

Определив из первого условия F и зная выбранную нами вели-

чину п = -, находим F = -. Затем проверяем, удовлетворяет

ли она второму из условий (4.7); если нет, то из этого условия находим fg, а Fi определяем формулой

F, = nF,. (4.8)

Таким образом, в статически неопределимой системе при данной нагрузке мы можем осуществить много вариантов распределения усилий между стержнями, меняя соотношение площадей поперечных сечений стержней. Для дальнейшего разъяснения возьмём числовой пример.

Пусть (? = 4 т; а = 30°; [а,] = 1000 кг1см\ Е = 2 - \{) кг/см; [о] = 600 кг/см; м=1 гсг/смК

В статически неопределимой системе (фиг. 39) положение точки А после деформации связывает между собой удлинения всех трёх стержней; чтобы была соблюдена совместность деформаций, необходимо, чтобы эти удлинения находились между собой в определённом отношении; это условие и даёт добавочное уравнение (4.4) для определения неизвестного усилия.

Продолжая решение нашей задачи, подставляем из (4.4) значение в уравнение (4.1) и получаем:

Из условий прочности получаем:

Р 1670 ,

Так как мы приняли, что Fi = Fy то /з=1,67 см.

Проверим, будет ли при таких условиях удовлетворено условие прочности для среднего стержня:

= li = 667 кг/смуШ кг/слК

Принятая площадь F мала; необходимо взять

3 jj --ggg- l,85 см.

Для того чтобы было соблюдено положенное в основу нашего расчёта условие Fi = Fy мы должны принять Fi = F=\ySb см вместо необходимой из первого условия величины 1,67 см. Таким образом, в крайних стержнях мы имеем дополнительный запас.

Если бы мы захотели избежать этого излишнего запаса и приняли бы

Fi = F=lfi7 см] /3=1,85 см\ (4.9)

то сейчас же изменились бы усилия Ni, и Лз; отношение

было бы равно уже не 1, как было раньше принято, а 0,9. В формуле (4.5) знаменатель уменьшится и увеличится; в формуле же (4.6) знаменатель уменьшится в меньшей степени, чем числитель, поэтому Ni и Л2 уменьшатся.

Уменьшая площади крайних стержней по отношению к площади среднего, мы уменьшаем усилия в этих крайних элементах и увеличиваем усилие в среднем стержне.

Для предварительного подсчёта выбираем Тогда

4cos30 Ni = N, =--=1,67 г,

-2rW-=