1,028 та

Так как действительные нагрузки Р и должны удовлетворять условиям

Р[Р] и q[ql то условие прочности для рассматриваемого стержня будет иметь вид:

\ 1 /

При применении формулы (34.21) надо иметь в виду, что величина Р вошла

TrEJ

в наш расчёт формально, как замена дроби жёсткость же EJ появилась

здесь из формулы для вычисления потенщшльной энергии при изгибе.

Таким образом, во всех этих вычислениях момент инерции / представляет собой не наименьший центральный момент инерции сечения, как это было нри проверке устойчивости, а момент инерции относительно нейтральной оси Z при изгибе балки поперечной нагрузкой. Так как при изгибе выгодно располагать сечение балки так, чтобы нейтральной осью была ось с наибольшим моментом инерции, то при вычислении Р в формуле (34.21) обычно именно этот момент инерции и следует принимать в расчёт. Зная величину Л, мы можем вычислить Р по форму.че

где Jz-момент инерции сечения относительно нейтральной оси z.

При помощи формулы (34.21) мы произвели проверку стержня на прочность; эта проверка должна быть дополнена проверкой на устойчивость, тем более, что искривление стержня под действием поперечных нагрузок обычно происходит в плоскости не наименьшей, а наибольшей жёсткости. Поэтому стержню угрожает выпучивание, потеря устойчивости в боковом направлении. Значит, обычная проверка такого стержня на устойчивость под действием только сил Р и проверка устойчивости плоской формы изгиба (§ 208) обязательны.

Если бы на балку пролётом /, шарнирно-опёртую по концам, действовала продольная сжимающая сила Р и сосредоточенная сила Ро посредине пролёта, то ход расчёта, подобный изложенному выше, привёл бы нас к следующей формуле для вычисления прогиба посредине пролёта:

сокращаем обе части на к.

наибольший изгибающий момент был бы равен

м =i:i4-p

ASEJ

Pll 0.822;

Дальнейший расчёт ясен.

Для балок с шарнирно-опёртыми концами изложенный здесь приём может быть распространён на любые комбинации поперечных нагрузок; если эти силы действуют в одном направлении, то можно с достаточной точностью считать, что наибольший прогиб будет посредине пролёта. Подобные же вычисления применимы и для балок, защемлённых одним концом.

Если продольные силы будут не сжимающими, а растягивающими, то знак перед Р придётся изменить на обратный. Тогда, например для балки на двух опорах с равномерно распределённой нагрузкой, условие прочности будет иметь вид:

Р

1,028

(34.23)

Влияние продольных растягивающих сил будет уменьшать напряжения от изгиба.

§ 210. Влияние эксцентриситета приложения сжимающей силы и начальной кривизны стержня.

Пользуясь таким же методом, как и в § 209, можно легко учесть влияние начального эксцентриситета силы при продольном сжатии (фиг. 571).

(Влиянием собственного веса пренебрегаем.) ( Приняв уравнение изогнутой

оси в форме y=zfsm- и имея в

виду, что сближение точек приложения сил в этом случае будет равно

Х==А + 2гвв, где вз=>,з,

т. е.

Фиг. 571.

составим выражения для dU и dUр.

dU = fdf; dUp = Pdl=P

-df+~edf

1) Здесь, как и в § 197, Д = (cfs - cfx) =

= , а 2еу-дополнительное

сближение концов, вследствие поворота опорных сечений на угол вд.

§ 210] ВЛИЯНИЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА ПРИЛОЖЕНИЯ СЖИМАЮЩЕЙ СИЛЫ 659

Из равенства dU = dUp найдем величину наибольшего прогиба:

Здесь Рк - эйлерова сила, равная Р = - .

Формула (34.25) позволяет найти прогибы стержня в зависимости от возрастания силы Р.

Мы видим, что лишь при приближении силы Р к критическому, эйлеро-вому значению, которое мы получили для прямого стержня, прогибы нашего стержня быстро возрастают, что ведёт за собой резкое увеличение напряжений; эта эйлерова величина критической силы и при наличии эксцентриситета должна считаться разрушающей. Таким образом, можно считать, что наличие эксцентриситета не отражается на величине разрушающей силы при продольном сжатии стержня, пока явление происходит в пределах упругости.

Поэтому проверка на устойчивость и в этом случае остаётся в силе; изменится лишь проверка на прочность, так как ещё до достижения силами Р критического значения мы будем иметь вместо сжатия совмест- \ У ное действие сжатия и изгиба моментами Р(е-{-у), т. е. тот случай, который был рассмотрен выше (§ 209).

Совершенно аналогично мы можем подойти к оценке влияния начальной (обычно очень небольшой) кривизны сжатого стержня (фиг. 572). Уравнение

Фиг. 572.

ОСИ стержня до приложения силы примем: >i=>oSin-. После приложения силы, вследствие эксцентриситета е, стержень получит дополнительное искривление, и мы можем принять:

y(f + y)sin

(34.26)

Потенциальная энергия изгиба балки определяется этим дополнительным искривлением и будет равна, как и в предыдущих случаях,

4/3 /

Сближение же концов искривлённого стержня после приложения сил Р выражается формулой

А = J (/+У У - 5 = J (/ + 2/ З.). Варьируя изогнутую ось и составляя уравнение

dU = dU

получаем:

dCf=

dUp=.PdA==(f + y,) df;