= AC,С, --. (34.5)

J Л-2-f 2 dx О

Под интегралами -две переменных <р и л:, связанных между собой, так как углы поворота сечений <р изменяются по длине jr, т. е. <р = (р(л:). Закон изменения ср в зависимости от х нам неизвестен. Пользуясь методами приближённого решения, зададимся для ср каким-либо уравнением, связывающим его с X так, чтобы были удовлетворены условия закрепления концов балки. Положим, например:

cp = Aj.sin. (34.6)

При х = 0 ср = О, при д: = 2 ср = ср и при х=1 ср = 0. Таким образом, эта функция обращается в нуль на опорах (где углы поворота сечений равны нулю по условиям закрепления) и достигает максимума посредине пролёта, т. е. удовлетворяет условиям деформации нашей балки.

Подставляя значение (f и её производной иод знаки интегралов в уравнение (34.5), получим:

PlACC,

k I cos2

к--I

Asin d,\

РкЦУС.С,. (34.7)

Проинтегрировав, найдём:

p

Точное значение критической силы для балки на двух опорах с прямоугольным поперечным сечением (фиг. 567) ) выражается формулой:

) Тимошенко, Устойчивость упругих систе.м, Гостехиздат, 1946.

Подставляя теперь значения Ui, UYi Up в исходное уравнение (34.1), получим: I I I

щ I + I {Ш- Щ

откуда

Обозначая жёсткость при изгибе EJ - Ci, а при кручении GJCtt получим для критического значения Р:

Ошибка приближённого решения составляет около 1,оо/в. Величина критической силы зависит от произведения жёсткости при боковом изгибе балки d = EJg и жёсткости при кручении Са = GJ.

Если нагрузка равномерно распределена по длине осевой линии, то её критическое значение равно

(34,8)

Для консоли длиной /, загружённой по длине равномерно распределённой нагрузкой, получим:

(34.9)

Для консоли, несущей груз, приложенный к оси балки на свободном копне:

(34.10)

В случае двутавровой балки формулы для критических нагрузок имеют такой же вид, как и для прямоугольного сечения с топ разницей, что числовой коэффициент при J/CiC не является постоянной величиной, а зависит от сопротивления полок боковому изгибу и определяется отношением

Здесь h - высота двутавра.

Таким образом, для двутавровой балки

(34.11)

где Э определяется для каждого значения а. Значения коэффициентов р определены для разных видов нагрузки и приведены ниже в таблице 33.

Таблица 33, Значения в формуле (34.11).

в графе 2 - для консоли, нагружённой силой на конце; > 3- 5> балки на двух опорах с силой посредине; >>4--> > 1> равномерно нагружённой.

где Mjjjax - наибольший изгибающий момент от критической нагрузки, а - момент сопротивления сечения изгибу в плоскости стенки.

Полученные результаты справедливы лишь при условии, что критические напряжения при выпучивании балок не превосходят предела пропорциональности материала.

Если ак>ап, то выведенные формулы будут давать преувеличенные значения критических напряжений, как и формулы Эйлера для сжатых стержней малой гибкости. Для нахождения действительных критических напряжений при выпучивании балок, когда > следует руководствоваться опытными данными. Можно воспользоваться, по предложению проф. Ф. Ясинского, аналогией со стержнями и полагать, что действительные напряжения находятся в том же отношении с определёнными по формулам этого параграфа, в каком находятся действительные с эйлеровыми при > Gn для сжатых колонн.

Пример 130. Балка двутаврового профиля № 60 (ТОСТ 8239-56) пролётом / = 6 ж, лежащая на двух опорах, загружена равномерно распределённой нагрузкой = 9 т/ж. Проверить прочность балки и устойчивость плоской формы изгиба при основном допускаемом напря-Фиг. 569. женин [с=1б00 кг/см и коэффициенте запаса на проч-

ность и устойчивость /г =1,7. Размеры сечения по сортаменту (фиг. 569) и геометрические характеристики профиля равны:

Л = 60 см; = 19 см; 1 = 1,1 см; 2 = 1,8 см; = 56,4 см; Jy = 75 450 см; = 1720 см; W/v = 2510 см; Ук=И8 см\

Момент инерции при кручении подсчитан по формуле (11.36) 7 = = тг]-1-Л5 где для двутавра y) = 1,2. Следовательно:

= {hfil 4- 2ЬЬ1) = 0,4 (56,4 . 1,Р + 2 . 19 . 1,8) = 118 см\

Как ВИДНО из таблицы, значения коэффициента р, по мере увеличения отношения , приближаются к значениям коэффициентов для балки прямоугольного сечения. Для а =100, р почти точно совпадает с числовыми коэффициентами для прямоугольных балок.

Для расчёта на устойчивость плоской формы изгиба необходимо, чтобы возникающие при изгибе нормальные напряжения не превышали допускаемых напряжений на устойчивость, равных [ау] = , где ky - коэффи-циент запаса.

Зная величину критической нагрузки для каждого случая загружения балки, мы легко можем определить величину критических напряжений: