ОТДЕЛ П.

СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ.

ч\\\\\\\\\\\\\\У

ГЛАВА IV.

РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ.

§ 19. Статически неопределимые системы.

Умение вычислять деформации стержней при растяжении и сжатии дат нам возможность установить, насколько изменяются формы и размеры частей конструкций при действии внешних сил. Обычно эти изменения формы настолько незначительны, что кажутся лишенными практического значения.

Однако есть целый класс конструкций, для которых проверка прочности и определение сечения отдельных элементов невозможны

без умения определять деформации; это так называемые статически неопределимые конструкции (системы); нахождение усилий в их элементах представляет собой статически неопределимую задачу.

Во всех примерах, которые мы рассматривали до сих пор, усилия, растягивающие или сжимающие стержни, определялись из условий статики твёрдого тела.

Так, в случае подвески груза Q на двух стержнях (фиг. 38) АВ и АС мы находим усилия и Лз, растягивающие эти стержни, из условия равновесия точки Л. Три силы, приложенные в точке Л, должны удовлетворять двум уравнениям равновесия, а именно: сумма проекций этих сил на каждую из двух координатных осей должна равняться нулю. Таким образом, число неизвестных (два) равно числу уравнений (два), и усилия и из этих уравнений могут бы1ь найдены. Эта задача - статически определимая.

Иначе будет обстоять дело, если груз Q будет подвешен на трех стержнях (фиг. 39). В этом случае точка А находится в равио-

Фиг. 38.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

§

Рсии под действием четырёх сил: Q, Лз, и N, причём три последние являются неизвестными. Уравнений же равновесия можно написать по-прежнему лишь два. Таким образом, число неизвестных на единицу больше числа уравнений - конструкция однажды статически неопределима, и задача не может быть решена только с помощью уравнений статики.

Необходимое для решения задачи дополнительное уравнение можно составить, пользуясь теми представлениями о свойствах материалов, которые мы получили, переходя от теоретической механики к сопротивлению материалов. Речь идёт об учёте деформируемости материала. Дополнительное уравнение мы сможем найти, изучая те деформации, которые испытывает конструкция. Оказывается, что всегда можно найти столько дополнительных уравнений, сколько нам нужно, чтобы полное число уравнений вместе с условиями статики равнялось числу неизвестных.

Эти дополнительные уравнения составляются на основании одного общего принципа, они должны выразить условия совместности деформаций системы.

Всякая конструкция деформируется так, что не происходит разрывов стержней, разъединения их друг от

друга, или не предусмотренных схемой сооружения перемещений одной части конструкции относительно другой. В этом и заключается совместность деформаций элементов системы.

Общий метод расчёта статически неопределимых систем таков. Сначала следует выяснить, какие усилия необходимо определить; затем написать все уравнения статики твёрдого тела; после этого - составить дополнительные уравнения в таком числе, чтобы можно было найти все неизвестные усилия.

Ход решения выясним на взятом частном примере (фиг. 39). Пусть крайние стержни, имеющие равные площади поперечных сечений,- стальные, средний же стержень - медный. Длина среднего стержня /д, крайних Z; допускаемые напряжения для стали пусть будут [о.], а для меди [а]. Требуется установить прочные размеры поперечных сечений этих стержней под действием подвешенного к ним груза Q.

Прежде всего установим силы, действующие на каждый из трёх стержней. Так как в точках Л, , С и D имеются шарниры, все три стержня могут подвергаться только осевым усилиям. Считаем и усилия растягивающими; для их определения мы должны рассмотреть равновесие точки Л, к которой приложена единственная

Фиг. 39.

Фиг. 40.

известная сила Q. Схема действия сил на точку и расположение координатных осей даны на фиг. 40. Приравниваем нулю суммы

проекций на координатные оси сил, действующих на точку А:

sin а - /Vi sin а = О, Q - Лз - cos а - cos а = 0.

Из первого уравнения получаем Ni = N; подставляя вместо Л во второе уравнение величину Л/i, получаем:

yV3 + 2AiC0sa = Q. (4.1)

Теперь у нас осталось одно уравнение с двумя неизвестными.

Для получения дополнительного уравнения мы должны обратиться к изучению деформаций нашей конструкции. Под действием силы Q все три стержня удлинятся, и точка А опустится. Так как усилия и равны между собой и стержни / и 2 из одного материала, то при равных длинах стержней их удлинения Д/i и Д/ будут одинаковы, точка А опустится по вертикали вниз.

Удлинение третьего стержня назовём Д/р.

Изменения длин всех трех стержней будут совместны, т. е. и после деформации стержни остаются соединёнными в точке Л. Для нахождения нового положения этой точки разъединим в ней стержни и изобразим на чертеже (фиг. 41) новые длины крайних стержней ССз и ВВ, увеличив их старую длину на величины Д/, = = АВ и М = АС. Для того чтобы найти новое положение точки Л, необходимо свести вместе удлинённые стержни ССа и ВВ, вращая их вокруг точек В и С. Точки В и совпадут в точке Л двигаясь по дугам СА и Si* которые вследствие малости деформаций можно принять за прямые отрезки, перпендикулярные к СС и ВВ.

Новое положение крайних стержней BAi и СА показано пунктиром. Так как конец среднего стержня тоже прикреплён к шарниру, то и он перейдёт в точку Аи и удлинение Д/з будет равно отрезку ЛЛ1.

Удлинения всех трёх стержней Д/, -Д/ и Д/3 по закону Гука будут пропорциональны усилиям, растягивающим эти стержни.