§ 203] ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 633

По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории тонких и длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в эйлеровом смысле; критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по сравнению с короткими стержнями для этих стержней средней гибкости связаны с такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю грузоподъёмности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины, понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.

Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических ( ломающих ) напряжений в зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчёта сжатых стержней на устойчивость ).

На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают формулу Эйлера для любого материала.

Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному ):

oz=a - b\ (33.19)

где а и b - коэффициенты, зависящие от материала, а Х = -

гибкость стержня. Для литого железа Ясинский получил: а = = 3387 KzjcMy й= 14,83 /сг/см. Для стали 3 при гибкостях от Х = 40 до Х=100 коэффициенты а и b могут быть приняты: А = 3360 кг/см; =14,7 гсг/см. Для дерева (сосна): а = 293 /сг/см\ =1,94 кг1см\

Данные о коэффициентах а и b для прочих материалов приводятся в справочниках (см., например. Справочник под ред. А. Н. Динника, Москва, 1949).

Иногда удобны эмпирические формулы, дающие для неупругой области изменение критических напряжений по закону квадратной параболы; к ним относится формула

= ао -- а\\ (33.20)

) Ясинский, Собрание сочинений, т. I. Петербург, 1902 г.

Здесь при X = о считают = = Для пластичного и 5 = 60 = 53 для хрупкого материала; коэффициент а, подобранный из условия плавного сопряжения с гиперболой Эйлера, имеет значение:

для стали с пределом текучести = 2800 кг/см а = 0,09 кг1см-> сосны ь прочности = 300 > а = 0,008 > чугуна > ав = 4200 > а = 0,44 >

При наличии приведённых здесь данных может быть построен полный график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. Ка фиг. 559 приведён такой график для строительной стали с пределом текучести а=2400 кг/см!

и пределом пропорциональности Од = 2000 гсг/см.

График состоит из трёх частей: гиперболы Эйлера при Х 100, наклонной прямой при 100 X > 40 и горизонтальной, или слабо наклонной, прямой при Х<;40. Подобные же графики можно построить, комбинируя формулу Эйлера А с результатами экспериментов, и для других материалов.

Таким образом, можно считать, что задача определения критических напряжений для стержней любой гибкости решена с достаточной для практических целей точностью.

2Ш 2000

Фиг. 559.

§ 204. Проверка сжатых стержней на устойчивость.

В § 200 мы отметили, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки: на прочность

на устойчивость

Величина критического напряжения найдена в предыдущем параграфе; для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остаётся теперь выбрать только коэффициент запаса к,

В нашей практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0. Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на прочность Ао, равного для стали 1,6.

Обозначая

получим:

0 у

К] = ?М; (33.22)

здесь ср - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней.

Имея график зависимости от X для данного материала, зная 0 = 0 или а0 = аи и выбрав коэффициенты запаса на прочность и на устойчивость /?у, можно составить таблицы значений коэффициента ср в функции от гибкости. Такие данные приводятся в наших технических условиях на проектирование сооружений; они сведены в таблицу 32.

Пользуясь этой таблицей, можно произвести подбор сечения сжатого стержня. Так как величина площади сечения зависит от [Оу], а это напряжение в свою очередь через коэффициент ср связано с гибкостью стержня X, т. е. с формой и размерами его сечения, то Подбор приходится осуществлять путём последовательных приближений в таком, например, порядке.

Выбираем форму сечения и задаёмся его размерами; вычисляем наименьший радиус инерции и гибкость; находим по таблице коэф-циент ср и вычисляем допускаемое напряжение на устойчивость

1ау] = (р[о]; сравниваем действительное напряжение с вели-

т бр

чиной [ау]; если условие устойчивости

а=-ср[о] (33.23)

. Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных па практике (начальная кривизна, эксцентриситет действия нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и почти не отражающихся на работе конструкции-нри других видах деформации (кручение, изгиб, растяжение).

Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства могут сильно снизить грузоподъёмность стержня. Для чугуна коэффициент запаса колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева -от 2,8 до 3,2.

Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость [ау] и допускаемым напряжением на прочность [а], возьмём их отношение: