§ 203. Пределы применимости формулы Эйлера и построение ПОЛНОГО графика критических напряжений.

Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остаётся выбрать лишь коэффициент запаса ky Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она даёт правильные результаты лишь м известных пределах.

В таблице 31 приведены величины критических напряжений, вычисленных при различных значениях гибкости для стали 3, обычно при-

Та блица 31. Критические напряжения а.

2000 fffi

меняемой в металлических конструкциях; графически зависимость от X представлена на фиг. 558. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так назы-

f V ваемой гиперболой Эйле-

00----h~~-t I I Рз . При пользовании этой

ЖО I-j--г\--1-1 кривой надо вспомнить,

что представляемая ею формула (32.12) получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения =Хв стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности. Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они

S77----i---

SO 100 120 Фиг. 558.

200 i

§ 203] ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 631

получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

а,<а или -<а . (33.17)

Если из неравенства (33.17) выразить гибкость I, то условие применимости формул Эйлера получит иной вид:

КУ (33.18)

Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой ещё можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным ап = 2000 кг/сму поэтому, как видно из таблицы 31 и из формулы (33.18), для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости

т. е. большейу чем 100.

Для стали 5 при я 3000 kzjcm* формула Эйлера применима при гибкости Х85; для чугуна - при Х558О, для сосны - при ХПО и т. д. Если мы на фиг. 558 проведём горизонтальную линию с ординатой, равной Од = 2000 /сг/см, то она рассечёт гиперболу Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьёзным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определённых по формуле Эйлера.

Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от О до 100.

Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и среднике гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки

и теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим исследованиям, чем дают основания для практических расчётов.

Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от О примерно до 30-40; у них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней.

Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счёт того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести (при пластичном материале) или предела прочности Од (при хрупких материалах). Поэтому для коротких стержней, до гибкости примерно 30-Ч-40, критические напряжения будут равны, или немного ниже (за счёт наблюдаюш.егося всё же некоторого искривления оси стержня), соответственно или (сталь), или Оз (чугун, дерево).

Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие стержни, которые теряют грузоподъёмность в основном за счёт разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъёмности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остаётся лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств - начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала - вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии коротких стержней; мы имеем ту же внезапность роста деформаций при определённой величине напряжений (когда 0 = 0).

Нам остаётся теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.