ГЛАВА XXXII. РАСЧЁТ ТОЛСТОСТЕННЫХ И ТОНКОСТЕННЫХ СОСУДОВ.

Фиг. 540.

§ 197. Расчёт толстостенных цилиндров.

В тонкостенных цилиндрических резервуарах, подвергнутых внутреннему давлению, вполне возможно при вычислениях считать напряжения равномерно распределёнными по толщине стенки (§ 35). Это допущение очень мало отзывается на точности расчёта.

В цилиндрах, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, подобное предположение повело бы к слишком большим погрешностям. Расчёт таких цилиндров дан Ляме и Гадолиным в 1852-1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчёта кривых стержней в применении к расчёту прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготовляют орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.

На фиг. 540 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом Ti, внутренним Tg; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению р.

Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом г внутри стенки цилиндра. Толщину кольца обозначим dr. Пусть АВ (фиг. 540) изображает небольшую часть этого кольца, соответствующую центральному углу db.

Размер выделенного элемента, перпендикулярный к плоскости чертежа, возьмём равным единице. Пусть с. и (Sr + dr будут напряжения, действующие по внутренней и наружной поверхностям элемента АВ, а - q напряжения по его боковым граням. По симметрии сечения цилиндра и действующей нагрузки элемент АВ перекашиваться не будет, и касательные напряжения по его граням будут отсутствовать. По граням элемента АВ, совпадающим с плоскостью чертежа, будет действовать третье главное напряжение 0, вызванное давлением на днище цилиндра. Это напряжение можно считать постоянным по всем точкам поперечного сечения цилиндра.

На элемент АВ действуют в плоскости чертежа две силы dr ставляющие между собой угол d% и радиальная сила, равная

(a + d;)(r + dr)db . 1-с;, rdd . 1.

Эта сила направлена в сторону наружной поверхности. Уравновешиваясь, эти три силы составляют дшщщй треугольник аЬс (фиг. 541).

Фиг. 541.

1, со-

Из него следует, что радиальная сила, изображаемая отрезком аЬ связана с силой oflfr (отрезок са) соотношением

аЬ = са db,

[(а + d<5r) (г + dr) - СгГ] db = Ь db\ пренебрегая малыми высшего порядка, получаем:

dr + dQff = dr\

отсюда

(32.1)

Условие равновесия дало только одно уравнение для нахождения двух неизвестных напряжений. Задача статически неопределима, и необходимо

обратиться к рассмотрению деформаций.

Деформация цилиндра будет заключаться в его удлинении и в радиальном перемещении всех точек его поперечных сечений. Назовём радиальное перемещение точек внутренней поверхности рассматриваемого элемента через и (фиг. 542). Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на другую величину и + du; таким образом, толщина dr выделенного элемента увеличится на du, и относительное удлинение материала

в радиальном направлении будет =

Фиг. 542.

В направлении напряжений относительное удлинение будет равно относительному удлинению дуги аЬ, занявшей положение cd; так как относительное удлинение дуги таково же, как относительное удлинение радиуса г, то s==y. По закону Гука (формулы (7.16) § 40]

, du

f = ~p К -r-f.] = -

(32.2)

Гак как и определяются одной и той же функцией w, то они связаны условием совместности. Дифференцируем по г:

..

1 fdu

df dr

г- и

(32.3)

Это и будет условие совместности деформаций; заменяя в нём значения г, и по (32.2), получим второе уравнение, связывающее и q,:

1 1+fX

dot dr

dGj 1 -f dr r

dr dr

(32.5)

Для совместного решения уравнений (32.1) и (32.5) продифференцируем первое по г и подставим в него значение из второго; получим:

dr drdr-dr

отсюда дифференциальное уравнение задачи:

dr г dr

Интеграл этого уравнения будет

(32.6)

(32.7)

что можно проверить подстановкой.

Постоянные А и В определятся из условий на внутренней п наружной поверхностях цилиндра:

Ы.=л = ~Яь iar)r==r, = -P- (2.8)

Знак минус в правых частях этих формул поставлен потому, что положительными мы приняли растягивающие напряжения (фиг. 541). Из условий (32.8) получаем:

Пользуясь этими значениями и уравнением (32.7), получаем окончательные формулы для ff и z{,

РгГ\-руГ\ (P2-Pi)nrl г- гЦг1-г1)

(32.9)

Как видно из этих формул, сумма а-Ч-сг не зависит от г, т. е. относительная деформация вдоль оси цилиндра во всех точках сечения одинакова (так как и одинаково), и сечение остаётся плоским.

Представляет очень большой практический интерес случай, когда имеет место только одно внутреннее давление р2, тогда

-rl-rl

(32.10)

Подставляя в это уравнение значение разности Ф;. - из (32.1), находим: