потенциальная энергия, накопившаяся во всём стержне, выразится интегралом от этой величины, охватывающим всю длину стержня:

2EF

(31.32)

Пользуясь теоремой Кастильяно, мы получим, что производная этой величины по сосредоточенной силе Р даст нам линейное перемещение центра тяжести того сечения, где эта сила приложена; точно так же производная от и по моменту Mq будет равна углу поворота соответствующего сечения:

Mds дМ, С Ndi dN £У * ар + J EF дР

дМ

EJ дм,

Nds дМ EF dMQ

(31.33)

Для вычисления деформаций кривого стержня удобно воспользоваться способом Мора.

Возьмём кривой стержень, представляющий собой четверть окружности (фиг. 532), защемлённый концом в точке Л. Радиус оси назовём R, Нагрузим этот стержень вертикальной силой Р на свободном конце и найдём вертикальное перемещение точки В,

Нужно изобразить стержень в двух состояниях:

а) при загружении заданной нагрузкой и

б) при загружении единичной силой, приложенной в том сечении, где определяется перемещение.

Так, для определения вертикальной составляющей перемещения конца стержня В (фиг. 532) нужно приложить в этом сечении единичную вертикальную силу Р=1 (фиг. 532, б).

Для определения вертикального перемещения будут служить формулы (21.2Г) и (21.2Г ) с заменой в них длины элемента dx длиной оси криволинейного элемента ds

Фиг. 532.

М(х) МО ds EJ

(дг) ЛГо ds EF

Вычислим М{х\ М\ N{x\ т

Ж = + PRo sin ср; Ж о = /?о sin ср; N = - Psin ср; Ло = - sin (р; ds = RQ d.

Подставляя полученные величины в формулу (31.33), получаем:

~у Sin <fRl rf + I Р sin ср/?о rfcp =

PPol Г

. FRl\~ AEJ L 0.

где t - радиус инерции сечения.

Первое слагаемое в скобках отражает влияние на прогиб изгибающего момента, второе - нормальной силы. Так как в большинстве 1

случаев отношение при деформации кривых стержней в

-малая величина, то роль нормальной силы ряде случаев сравнительно

невелика.

Если бы мы хотели найти горизонтальное перемещение точки В, то следовало бы приложить в этой точке горизонтальную силу Р=1, Подобным же образом надо было бы поступить при отыскании угла поворота этого сечения; следует ввести Л1 = 1.

Если при вычислении М и N приходится разбивать стержень на участки, то соответственно этому каждый из интегралов в формулах (31.33) распадается на сумму интегралов с соответственно выбранными пределами.

§ 195. Вычисление деформаций с учётом кривизны стержня.

При рассмотрении деформаций элемента кривого стержня длиной ds мы исходили из предположения о том, что деформация этого элемента происходит так же, как в прямом стержне. Решим эту задачу более точно. Деформация рассматриваемого элемента (фиг. 531) от действия усилий М и N состоит

из удлинения Arfs отрезка ds оси элемента и из относительного поворота Ь d сечений, ограничивающих наш элемент. Относительный поворот сечений, вызванный парами М (фиг. 533), получается из формулы (31.13) равным

bd,=d<f = -. (31.34)

Но и усилия действующие на элемент, Фиг. 533. вызывают дополнительный поворот сечений

1-1 и 2-2 на угол Sflfcp . Нормальные напряжения, соответствующие усилию распределяются по сечению равномерно, но длины волокон нашего элемента увеличиваются от вогнутой к выпуклой стороне пропорционально расстояниям от центра кривизны; в том же отношении возрастают и их абсолютные удлинения и, таким образом, сечение 2-2 перемещается относительно 1-1 не парал-

2 \ EF EFRj 2ESRq 2EF EFR, Вся энергия, накопленная в стержне, выразится суммой трёх интегралов:

С Mds С Nds С MNds ...

S S S

Теперь на примере прямоугольного сечения легко установить погрешность, допущенную нами при применении упрощённой формулы (31.32)

Г Mds Г mds

J 2EJ 3 2EF

Как видим, упрощение заключается в замене произведения SR величиной момента инерции /ив отбрасывании третьего слагаемого. Мы имели для прямоугольного сечения

/ / \

таким образом, принимая SRo = J, мы делаем относительную погрешность

лельно самому себе, а поворачиваясь вокруг центра кривизны элемента на некоторый угол 5 flfcp . Величина угла поворота 5 cfcp равна, как видно из фиг. 534, удлинению осевого волокна, делённому на радиус . о

кривизны RqI (

и.. = . (3,.35,

Удлинение осевого волокна А flfs вырезанного \/\ 2/ элемента в первую очередь зависит от нормальных Д -jbdf усилий N; эта доля удлинения будет равна xfL

Arfs = 4l- (31.36) Y

Изгибающий момент М, вызывая относительный Фиг. 534.

поворот сечений вокруг нейтральных осей на

угол Sflfcp, влечёт за собой дополнительное удлинение осевого волокна, как это видно из фиг. 533, на величину

А П 5. J Mds Mds 0-7\

Таким образом, деформация элемента стержня свелась к относительному повороту сечений /-/ и 2-2 на угол

+ = + (31.38)

и к удлинению осевого волокна на

Ads = Acis + Ads =- + . (31.39)

Подсчитаем теперь работу, производимую усилиями Af и ЛГ при постепенном их возрастании. Постепенно и пропорционально этим усилиям будут возрастать и деформации bd и Ads.

Количество потенциальной энергии, накопленной в элементе при этой деформации, будет численно равно

ciU = dA=Mbd,+-NAds = -M[ + -J +

1 Krf i Mds\ Mds Nds MNds .

~r о 1 FPD -opcd ~r OFP FRD Vb4U)