Для кривых стержней эти напряжения имеют большее значение, чем для прямой балки, как это показали исследования, произведённые на гипсовых (хрупких) моделях. Особенно значительную величину получают эти напряжения для сечений, ширина которых резко меняется (двутавр).

§ 193. Примеры определения напряжений в кривых стержнях.

Пример 121. Изогнутая рама машины (фиг. 529) подвергается действию двух сил Р по 800 кг каждая. Найти краевые напряжения в сечении АВ, Радиус оси Rq = 80 мм\ сечение прямоугольное 80 X 30 мм,

Так как < 5, то следует

применить формулы для стержней большой кривизны. Находим ра-. диус нейтрального слоя п

Фиг. 529.

в нашем случае Л = 80 мм, Ri = = 120 мм, /?2 = 40 мм; следовательно.

]20 ~ 1,099 40

Отсюда необходимые данные для расчёта:

2о = /?о - г = 80 - 72,8 = 7,2 мм = 0,72 см; 5 = .2:0 = 8.3. 0,72=17,3 см;

2i=- + 2o = 4 + 0,72 = 4,72 см, 2 =у~2о = 4~0,72 = 3,28 см.

Изгибающий момент относительно центра тяжести сечения равен М = 800 . 25 = - 20 ООО кгсм.

Нормальная сила Л= + 800 л:г. Площадь поперечного сечения Р = 2Асм. Нормальные напряжения в точках А (jg) и В ({) равны

, 800 20 000 4,72 , , ,

ai = + -24----То- = + 3-455 = ~422 кг/см

17,3

= = + 33 + 948 = 4-981 .elcMK

Если бы мы воспользовались таблицей для вычисления Zq, то имели бы

h , /?о 80

с = - = 4 см; = - =

= = 2, 2о = 0,09iRo = 0,09 8 = 0,72 см,

Т. е. то же самое значение z. Если бы мы пренебрегли кривизной стержня и ВЫЧИСЛИЛИ напряжения по формуле

ТО- получили бы

800 20 ООО

3 . 82

= + 33:;:625={ g}.a/c.

Мы получили бы напряжения во внутреннем волокне на

981 -658

100 = ЗЗо/о

меньше, не в запас прочности. Таким образом, подбор сечения без учёта кривизны стержня может повлечь за собой значительные перенапряжения.

Пример 122. Проверить

прочность крюка грузоподъёмностью 10 т. Размеры крюка приведены на фиг. 530. Опасным сечением, для которого М и N достигают максимума, будет сечение АВ. Форма его - трапецоидальная, что вызвано желанием усилить зону наи- рп и. п больших напряжений, приле-тающую к внутренним волокнам. Площадь сечения

F = -12 = 66 слс2. Фиг. 530.

Расстояние центра тяжести*от внутренних волокон равно

h 2а+ b 12 6 + 8

а от наружных,

+ 3 3 + 8 Ci = 6,91 см.

Воспользуемся формулой (31.27): 12 . 5.5

3 + 20 . ~j In ~ 5 . 0,9163 ~ 5

/?о = 8 + 5,09= 13,09 см\ 20 = 13,09- 12,26 = 0,83 см\ 5 = 66 . 0,83 = 54,8 см\ Z, = 6,91 + 0,83 = 7,74 СМ] 2:2 = 5,09 - 0,83 = 4,26 см.

= 12,26 см.

§ 194. Деформации кривых стержней.

При решении статически неопределимых задач по расчёту конструкций, куда входят кривые стержни (арки, своды, звенья цепи и кольца), необходимо уметь вычислять деформации кривых стержней. Опыт и расчёты показывают, что если при определении напряжений необходимо для стержней большой кривизны учитывать влияние этой кривизны, то при вычислении деформаций в подавляющем большинстве случаев можно пренебречь этим влиянием.

Рассмотрим, как определяется количество потенциальной энергии при изгибе кривого стержня.

Вырежем из стержня двумя поперечными сечениями элемент длиной 5 ({)иг. 531). На него будут действовать по обоим сечениям касательные напряжения, складывающиеся в усилие Q, и нормальные, складывающиеся в усилия N \i М.

Для определения количества потенциальной энергии, накапливающейся в этом элементе, надо подсчитать работу всех этих усилий, приложенных к элементу. Уже в балках при подобных вычислениях мы пренебрегали работой касательных усилий; в кривом стержне это тем более возможно, так как влияние поперечных сил будет ещё меньше. Остаётся подсчитать работу усилий N и М. Если мы пренебрежём влиянием кривизны стержня, то это будет эквивалентно предположению, что деформация выделенного элемента под действием пар М происходит так же, как в балке; тогда количество потенциальной энергии, связанной с этой де-

формацией, будет равно ; разница по отношению к балке лишь в дру-

гом обозначении длины элемента - вместо dx написано ds.

Так как мы пренебрегаем кривизной стержня, то нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения; поэтому при повороте сечения под действием пар М центры тяжести сечений Oi и Оа не перемещаются, и усилие N работы не производит. Поэтому мы можем вычислить его работу независимо от действия пар М и результат прибавить к полученному выше.

Усилия Ny действующие на элемент, производят простое растяжение или сжатие; количество потенциальной энергии, накопленной при этом, будет mds

равно ; вместо длины / растянутого или сжатого стержня подставлена

длина элемента ds.

Количество потенциальной энергии, накопившейся в выделенном элементе, равно

Mds , Nds

Нормальная сила для сечения АВ равна ЛГ=Р=:+10000 кг. Изгибающий момент M = - Р-/?о = -~10 000. 13,1 = - 131 ООО кгсм. Напряжения в крайних волокнах будут:

, 10 000 131 000.7,74 , .

= + -66---54;8Т2 = - 924 = - 772 кг1см\

- = + Т + - = 152 + 1272 = 1424 кг/см.