Если пренебречь здесь величиной -, то формула (31.30) обратится Б формулу напряжений в прямом стержне:

Определим, какова будет погрешность при вычислении наибольших нормальных напряжений от изгибающего момента по формуле прямого стержня при значении

Ro = 5h

на примере стержня прямоугольного сечения. Радиус кривизны нейтрального слоя в этом случае равен:

= , Ro + 0,5h = 0,20Ш ;?о~0,5Л 4;5

Тогда

ZQ = RQ - r = 0,0\Q7h и = 0,00334/0,

т. е. нейтральная ось отстоит всего на 1/60 высоты от центра тяжести сечения.

Если материал различно сопротивляется растяжению и сжатию, величины [а] будут иметь различные значения. Что же касается отыскания опасного сечения, то благодаря наличию двух факторов, вызывающих нормальные напряжения, Ж и Л, этот вопрос более сложен, чем для прямого стержня. В некоторых случаях (см. пример § 185) Ж и достигают наибольшей величины Б одном и том же сечении, тогда оно и будет опасным. Если же это не имеет места, то приходится проверять прочность материала в ряде сечений, отыскивая вычислением наиболее напряжённое. /

Если значение радиуса кривизны стержня Rq велико по сравнению с высотой сечения h (а именно, Robh), то отношения zjp, или Zi/Ri, или z/R становятся незначительными, и нормальные напряжения, зависящие от изгибающего момента, будут мало чем отличаться от напряжений, определяемых по формулам прямого бруса. Это легко установить при помощи данных §§ 187 и 188. Возьмём, например, уравнения (31.10) и (31.7). Исключая из них

Е и заменяя р через r-\-Zy получаем:

Напряжения изгиба по формулам кривого стержня составляют:

М М - 0,5167/1 0,5167 . Л1 6 г.ооМ

1 - 5 /?1 ~ . 0,0167Л . 5,5Л ~ 0,551 \bh ~ W

- 2 М- 0,4833/1 0,4833 Af 6 М ,

S bh 0,0167/1 . 4,5/1 ~ 0,4509№ - >

т. е. величина напряжений отличается на ±:7Уо от определяемой по формуле прямого стержня.

Это обстоятельство является причиной того, что для проверки прочности кривые стержни разделяют часто на две категории.

К первой относят стержни большой кривизны с 5; для них подсчёт нормальных напряжений следует вести по формуле

На практике это будет иметь место, главным образом, для частей машин, крюков, звеньев цепей, колец и т. д. Ко второй категории относят стержни малой кривизны, у которых радиус оси велик по

сравнению с размерами сечения, т. е. таких стержней

при вычислении напряжений от изгиба можно пользоваться формулой прямого стержня

o.2 = dz~[o]. (31.31)

Эта категория обычно включает в себя кривые стержни, встречаю-ш.иеся в различных инженерных сооружениях, - арки, своды и т. д.

§ 192. Дополнительные замечания к формуле нормальных напряжений.

Проверяя прочность кривых стержней, мы очень часто получаем весьма значительные напряжения у внутренних волокон. Надо иметь в виду, что эти напряжения (фиг. 522) падают весьма резко уже на небольшом расстоянии от края сечения. Таким образом, они носят явно выраженный характер местных напряжений, а потому при оценке их влияния на прочность детали следует иметь в виду указания § 16: при статической нагрузке и при пластичном материале (мягкая сталь) переход этих напряжений за предел текучести опасности не представляет.

Основы изложенной в § 187 теории расчёта кривых стержней были даны русским академиком А. В. Гадолиным в 1856-1860 гг. Точная теория изгиба кривых стержней прямоугольного сечения впервые была изложена русским учёным X. С. Головиным в 1880 году; полученные им результаты устанавливают, что сечения прямоуголь-

§ 192]

ЗАМЕЧАНИЯ К ФОРМУЛЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

ной формы при изгибе кривого стержня остаются плоскими. Экспериментальные работы по проверке изложенной теории показывают достаточно удовлетворительное совпадение результатов опыта и вычислений.

Гиперболический закон распределения напряжений отчетливо виден при просвечивании напряжённой прозрачной модели кривого стержня поляризованным одноцветным светом. В этом случае внутри контура модели можно видеть ряд тёмных и светлых полос; чем резче изменяются напряжения, тем эти полосы делаются уже и располагаются чаще. На фиг. 528 показано это распределение полос

Фиг. 528.

для чистого изгиба модели, имеющей и прямую и кривую части. В пределах прямого участка полосы располагаются равномерно, так как напряжения меняются по линейному закону, т. е. равномерно; в кривой части наблюдается сгущение полос у вогнутой стороны и обратная картина у выпуклой, что соответствует резкому и неравномерному росту напряжений в первой зоне и значительно более медленному - во второй.

При исследовании распределения нормальных напряжений в кривых стержнях мы пренебрегли наличием нормальных напряжений, радиально направленных, т. е. давлением волокон друг на друга.