В то время как для прямой балки мы имели линейный закон распределения напряжений, для кривого стержня напряжения о меняются по гиперболическому закону (фиг. 522). Из формулы (31.7)

видно, что в наружных от нейтрального слоя волокнах напряжения растут медленнее, чем Z] во внутренних же, благодаря изменению знака z с положительного на отрицательный, они растут быстрее, чем Z.

Таким образом, в кривом стержне нормальное напряжение во внутреннем крайнем волокне больше, а в наружном меньше, чем в тех же волокнах прямого стержня того же сечения. Это понятно: первоначальная длина внутреннего волокна в кривом стержне значительно меньше, чем наружного; в прямом же стержне эти длины равны. Поэтому и получается указанная выше разница в относительных деформациях, а стало быть, и в напряжениях для этих волокон.

Перейдём к решению уравнений статики (31.4) и (31.6) с учётбм зависимости, полученной из рассмотрения деформаций (31.7). В уравнение (31.4) подставим (31.7):

Фиг. 522.

Вынося постоянные для рассматриваемого сечения величины за знак интеграла и сокраш.ая их, получаем:

-dF = Q. 9

(31.8)

Это уравнение позволяет найти положение нейтральной оси.

Из равенства (31.8) ясно, что равен нулю не интеграл J 2: rfF,

представляющий собой статический момент сечения относительно нейтральной оси, как это было для прямого стержня, а другой интеграл. Это показывает, что при изгибе кривого стержня нейтральная ось действительно не проходит через центр тяжести сечения. Заменяя в (31.8) z = p - г (фиг. 521), находим:

откуда следует, что

где М - изгибающий момент, а интегрирование охватывает всю площадь поперечного сечения. Интеграл, входящий в это уравнение, преобразуем следующим образом:

последний из полученных двух интегралов равен на основании (31.8) нулю, а первый представляет собой статический мбмент 5 площади поперечного сечения относительно нейтральной оси. Эта величина может быть вычислена как произведение площади сечения F на расстояние её центра тяжести до нейтральной оси, т. е. на (фиг. 522):

S = Fz. (31.11)

Таким образом, уравнение (31.10) получает вид:

Ж-£5 = 0; (31.12)

отсюда

и формула для нормальных напряжений напишется так:

а = .. (31.14)

В уравнении (31.12) мы находим подтверждение того, что здесь статический момент 5 площади сечения относительно нейтральной оси не равен нулю, т. е. нейтральная ось при изгибе кривого стержня не проходит через центр тяжести сечения, а несколько (на величину z) смещена. На фиг. 522 мы изобразили это смещение в сторону к центру кривизны стержня. Результаты определения величины г из уравнения (31.9) для различных сечений показывают, что нейтральная ось действительно смещается в указанном направлении.

Это смещение связано с условием равенства между собой сумм сжимающих и растягивающих напряжений, действующих по сечению. Так как напряжения от изгибающего момента у наружного края сечения меньше, а у внутреннего - больше, чем в соответствующих волокнах прямого стержня того же сечения (фиг. 522), то для равенства указанных сумм нейтральная ось должна сместиться от центра тяжести сечения в сторону внутренних волокон.

Ход вычислений величины г для каждого частного вида поперечного сечения будет различен. Подставив теперь зависимость (31.7) в уравнение (31.6), получим:

Добавляя к полученным напряжениям найденные в предыдущем параграфе напряжения от нормальной силы, получаем формулу для вычисления полных нормальных напряжений в кривом стержне:

N . М z

(31.15)

Наибольшие по абсолютной величине растягивающие и сжимающие напряжения будут иметь место в крайних волокнах / и 2 (фиг. 522).

§ 188. Определение радиуса кривизны нейтрального слоя при прямоугольном сечении.

Для определения величины г служит уравнение (31.9):

Развернём это уравнение для случая прямоугольного сечения стержня. Назовём (фиг. 523) h - высоту, b - ширину сечения, - радиус кривизны стержня, - радиус кривизны наружных волокон, / -

радиус кривизны внутрен-ii2 них волокон, г - радиус

кривизны нейтрального слоя.

Разделим сечение на полоски rfF = rfp; тогда уравнение (31.9) примет вид:

bh h

2ZZZZ

Фиг. 523.

отсюда

(31.16)

. (31.17)

Формулы (31.16) и (31.17) позволяют вычислить г и а следовательно и 5, для прямоугольного сечения.

*) Натуральный логарифм равен десятичному, умноженному на 2,303.