так как воспользовались уже готовыми решениями; для нормальных же напряжений, уравновешивающих изгибающий момент Ж, мы проделаем весь ход вычислений, который в своё время был изложен при определении нормальных напряжений в прямых балках (§ 78).

Рассмотрим условия равновесия оставленной части стержня АВ (фиг. 517) под действием изгибающего момента М и системы напряжений о, передающихся через проведённое сечение. Изобразим (фиг. 518) оставленную часть с действующими на неё силами. Поло-

Фиг. 517.

жение нейтрального слоя по высоте сечения нам заранее неизвестно и подлежит определению; будем в общем случае считать, что он не проходит через центры тяжести сечений. Начало координат покажем в точке С, расположенной на нейтральной оси у и вне центра тяжести сечения О, причём расстояние ОС оставим пока неизвестным. Ось Z является осью симметрии; ось х направлена перпендикулярно к плоскости сечения. В плоскости симметрии xCz расположен изгибающий момент М\ по каждой площадке dF с координатами у и Z действует сила cdF. Для системы сил М и odF, под действием которых оставленная часть сохраняет равновесие, можно написать шесть уравнений равновесия.

На ось X внешние силы дают проекцию, равную нулю; сумма же проекций сил adF выразится интегралом, охватывающим всю площадь поперечного сечения:

= 0; j<:dF =

= 0.

(31.4)

Уравнения проекций всех сил на оси у и z: Sr=0 и Z=0

обращаются в тождества, так как напряжения о перпендикулярны к осям у и Z. Обращается в тождество и уравнение моментов относительно оси X

так как не дают момента ни силы adF, параллельные оси х, ни пара М, лежащая в плоскости xCz.

По этой же причине момент пары М относительно оси z тоже равен нулю; что же касается сил adF, то их момент относительно

этой оси равен интегралу J odFy.

Пятое уравнение равновесия, следовательно, будет

2Ж = 0; odFy = Oy

(31.5)

но этот интеграл равен нулю вследствие симметрии сечения относительно оси Z.

Остаётся приравнять нулю сумму моментов всех сил относительно оси у. Это уравнение запишется так:

Му = 0\ M-[GdFz=0,

(31.6)

Итак, условия статики требуют рассмотрения двух уравнений:

GdF = 0,

М- [odFz=0.

(31.4) (31.6)

Закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения остался пока неизвестным. Поэтому переходим к рассмотрению деформаций.

Как и для случая изгиба прямого стержня, будем пользоваться гипотезой плоских сечений, подтверждаемой опытами и для кривых

стержней. Будем предполагать, что при действии изгибающего момента сечения, перпендикулярные к оси, остаются плоскими и лишь поворачиваются одно относительно другого (фиг. 519). Так как при сделанных выше предположениях (§ 184) ось бруса остаётся при деформации в той же плоскости, в которой она лежала до деформации, то эти повороты будут происходить вокруг нейтральных осей ССх и С2С2, перпендикулярных к плоскости внешних сил, заключающей в себе и ось стержня. Тогда удлинения и укорочения, а стало быть и напряжения для волокон, отстоящих на одно и то же расстояние от нейтральной оси, будут по ширине сечения одинаковыми. Установим зависимость между углом относительного поворота двух смежных сечений и деформациями волокон. Выделим из кривого

Фиг. 519.

стержня, подвергающегося действию только изгибающих моментов (фиг. 520), элемент, ограниченный двумя очень близкими сечениями, составляющими угол rfcp. Этот элемент изображён на фиг. 521. Oi-О2 - ось стержня; Q-- нейтральный слой.

Нормальные напряжения, действующие по проведённым сечениям, образуют пары; под их действием угол между смежными сечениями

Фиг. 520.

Фиг. 521.

7-7 и 2-2 изменится на величину Ь вследствие относительного поворота этих сечений вокруг нейтральных осей Q и

Найдём нормальные напряжения а, действующие по сечениям в точках и А на расстоянии z от нейтральных осей. Положительное направление оси z выберем в сторону наружных волокон. Волокно получит удлинение aD; соответствующее напря-

жение а будет равно

а = б£,

где е - относительное удлинение волокна АА, Оно равно отношению абсолютного удлинения ЛзО к первоначальной длине волокна AAi:

называя буквой р радиус кривизны волокна АА, имеем: ADzbdy ЛИ2 = рср; s = -l-; а = Е. (31.7)

Формула (31.7) даёт закон распределения по высоте сечения нормальных напряжений, вызванных изгибающим моментом М,

Так как для каждого сечения величины и Е постоянны, то

изменение о зависит лишь от изменения координаты z и радиуса кривизны р волокна Л Из, причём р = г-[-, где г - радиус кривизны нейтрального слоя.