Эти три величины совместно заменяют действие внешних сил, приложенных к оставленной части стержня. В частном случае, когда эти внешние силы приводятся к паре, силы N и Q обраш.аются в нуль.

Величины сил Ж, iV и Q определяются из условия статической эквивалентности этой системы сил Р, Р, Р\ моменты относительно любой точки и проекции на любую ось обеих систем сил равны между собой.

Составляя суммы моментов сил обеих систем относительно центра тяжести проведённого сечения, получаем, что изгибающий момент М равен сумме моментов всех сил, приложенных к оставленной части стержня:

Ж = 2 г(Л, Рз)о. (31Л)

Проектируя силы обеих систем на направления и Q, получаем, что нормальная и поперечная силы равны суммам проекций всех сил, приложенных к оставленной части стержня, соответственно на направление нормали к сечению и на плоскость самого сечения:

Л=2:пр(Л, Р Рзк, (31.2)

Q = 2:np(A, Р.> РзЬ. (31.3)

Изгибающий момент будем считать положительным, если он увеличивает кривизну оси стержня. Нормальную силу будем считать положительной у если она будет стремиться оторвать оставленную часть стержня от отброшенной. Поперечную силу считаем положительной, когда она получается из положительного направления

Фиг. 513.

Фиг. 514.

нормальной силы поворотом по часовой стрелке на 90° (фиг. 513).

Так же, как и для балки, при вычислении величин Ж, Л/ и Q можно рассматривать как левую, так и правую части стержня, разделённые проведённым сечением; выбор той или другой части определяется условием наибольшей простоты вычислений.

Приведённые выше правила знаков для изгибающего момента, нормальной и поперечной сил не зависят от того, правую или левую часть стержня мы оставляем для их вычисления.

Рассмотрим пример вычисления Ж, Л/ и Q. Возьмём стержень, представляющий собой четверть окружности радиуса /?о, зещемлён-

ный одним концом и нагружённый на другом силой Р (фиг. 514); проведём какое-нибудь сечение с центром тяжести О. Положение сечения определим углом ср, составленным им с вертикалью. Для вычисления Ж, Л/ и Q рассмотрим правую часть стержня. Этим мы избавляемся от вычисления реакций в сечении С.

Изгибающий момент будет равен моменту силы Р относительно точки О:

Ж = + Р . 0D = + Р/?, sin 9.

Проектируя силу Р на нормаль к сечению и на само сечение, получаем: N= - Psin ср; Q = -[-cos ср.

Таким образом, наибольший изгибающий момент и нормальная сила будут при ср = 90°, т. е. в опорном сечении.

На фиг. 515 показаны эпюры М, N и Q. -За нулевую линию принята ось стержня. Ординаты отложены по радиусам кривизны стержня.

§ 186. Вычисление напряжений от сил Q и N.

Напряжения о и т по проведённому нами сечению тп уравновешивают систему внешних сил (Pj, Pg, Р3), приложенных к оставленной части, или, что всё равно, систему сил N и Q (фиг. 511 и 512).

Сила Q, лежащая в плоскости сечения, может быть уравновешена лишь касательными напряжениями т, сумма которых должна быть равна и противоположна силе Q. Нормальная сила N и изгибающий момент Ж, приложенные к оставленной части, могут быть уравновешены лишь нормальными напряжениями.

Условия равновесия оставленной части позволяют найти лишь суммарные внутренние усилия, передающиеся от отброшенной части на оставленную; само же распределение напряжений по сечению

таким путём получено быть не может, - мы имеем дело со статически неопределимой задачей, для решения которой необходимо рассмотрение деформаций стержня.

Однако в отношении напряжений, вызванных силами Q и N, искомый результат можно получить проще. Теоретические исследования показывают, что распределение касательных напряжений в кривых стержнях близко к тому, что мы имеем для прямых. Поэтому обычно и для кривых стержней пользуются формулами, выведенными для прямых балок:

(15.3)

Это не точно; применяя те же методы, что и при вычислении касательных напряжений в балках, можно вывести и для кривых стержней более точные формулы для вычисления т. Однако практически вполне допустимо пользование формулой (15.3).

Условие прочности по отношению к касатель- cfsj ным напряжениям в таком случае для кривых стержней имеет вид (15.7):

Фиг. 516. maxmax , ,

Стах =--hl.

Определим теперь напряжения, вызываемые нормальной силой N, Рассматривая элемент кривого стержня длиной ds под действием усилий N (фиг. 516), видим, что эти силы, приложенные в центрах тяжести поперечных сечений, соответствуют простому осевому растяжению или сжатию выделенного элемента. Поэтому и соответствующие напряжения будут нормальными к сечению и равномерно распределёнными по его площади F:

Знак напряжений определится знаком силы N.

§ 187. Вычисление напряжений от изгибающего момента.

Изгибающий момент М может быть уравновешен, как и в прямой балке, только нормальными напряжениями, приводящимися к паре, расположенной в плоскости действия внешних сил, по направлению обратной, а по величине равной моменту М. Задача нахождения закона распределения напряжений по сечению и формул для их вычислений является статически неопределимой и требует, как это было и при изучении изгиба прямой балки, помимо составления и решения уравнений статики, рассмотрения соответствующих деформаций и составления дополнительных уравнений. При определении напряжений от сил Q и N мы обошлись без подобных вычислений,