Величина касательных напряжений от сил Q и от может быть определена по формуле:

(30.56)

Первыми двумя членами формулы определяются касательные напряжения от составляющих поперечной силы Q, а третьим - секториальные касательные напряжения от действия изгибно-крутящего момента. Надо иметь в виду, что и те и другие касательные напряжения действуют вдоль контура сечения. Величина 8 во всех членах формулы - толщина стенки, измеряющаяся нормально к контуру; Sy и SI - статические моменты отсечённой части сечения относительно главных осей инерции; Jy и - моменты инерции всего сечения относительно тех же осей; 8% - секториальный статический момент той же .части сечения; - главный секториальный момент инерции сечения.

Кроме того, к касательным напряжениям, вычисляемым по формуле (30.56), добавляются ещё касательные напряжения от чистого кручения, достигающие наибольших значений посредине краёв стенок и вычисляемые по формуле (11.37) [см. §§ 67, 173 и 176].

§ 183. Примеры вычисления напряжений в тонкостенных стержнях.

Пример 117. Тонкостенный стержень корытного профиля, защемлённый одним концом в стену ), скручивается моментом Mq = 6 /сгм. Найти величину касательных и нормальных напряжений в опасном сечении стержня, размеры которого показаны на фиг. 501: /= 1 M;h = 200 мм; Ь = = 100 мм\ S = 1 жм.

Для решения задачи необходимо прежде всего найти значения геометрических характеристик сечения. П.ющадь сечения

F = (2 + Л) 5 = 4 см-.

Расстояние центра тяжести сечения от оси вертикальной стенкк:

25 I

2 . 10 . 0,1 . 5

= 2,5 см.

F ~ 4

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей:

Л = 2

) в защемлении предположено отсутствие депланации.

Пользуясь формулой (30.42), найдём координату центра изгиба:

гьн 3.10 0,1

Ь-ш + кЬ- (6. 10 + 20). 0,1 -

Строим дпюру секториальных координат (фиг. 502), значения которых будут:

, Cyh 3,75 . 20 - - , для точки /а>1= - со, =--1- =----= - 37,5 см\

h 9П

для точки 2 (08 = -0)4==- ( - 3,)== у (10- 3,75) = 62,5 см\

Секториальный момент инерции сечения (по формуле 30.43):

ЬкЧ 2кЬ + Ш 10 . 20 . 0,1 (2. 20 + 3. 10)

- Т2 бГРЖ --12{6. 10 + 20). 0,1--

Момент инерции сечения при кручении

Наибольший секториальный статический момент отсечённой части (см. формулу 30.43):

Подсчитаем упругую изгибно-крутильную зсарактеристику стержня:

а/= 0,00132 . 100 = 0,132 < 0,5 (см. § 177).

Вследствие весьма малой жёсткости при чистом кручении {GJ МОЖНО принять, что внешняя нагрузка целиком воспринимается стержнем лишь за счёт изгиба полок и стенки. В таком случае изгибно-крутящий бимомент в защемлении может быть определён на основании аналогии, о которой сказано в конце § 177:

тахВ? Л1о/ = 600 100 = 60000 лггслс .

В целях ознакомления с методикой точного решения дифференциального уравнения (30.29) выполним его.

Имея в виду, что внешний момент = const и значит т = = О,

общий интеграл уравнения (30.29) имеет вид:

i9 = Ci sh ал: + Се ch ах. (30.57)

Произвольные постоянные интегрирования определяются из условий закрепления концов стержня.

В защемлении при .д: = 0 6 = 0. Следовательно, нулю равен момент

чистого кручения М, так как в = = 0. Имея в виду, что = М +

можем это условие записать иначе, а именно;

1)при д:=0 = Ma, = Afo;

откуда

С,=; при л: = / B = Cisha/+C2cha/=0,

С, = -Cl th а/= -th а/.

Подставив найденные значения произвольных постоянных в (30.57), получим:

В=(8Нал:-tha/chflAT). При лг = 0 max B = - Xhal. Так как% = 0,00182, tha/=th0,132 = 0,131, то

max В = ~ Мо 100 = 60 ООО Krecjii*.

Изгибно-крутящий момент в том же сечении, как было показано, равен:

maxMa) = Mo = -600 кгсм.

Переходим . теперь к определению напряжений. Наибольшие секториальные нормальные напряжения в опасном сечении возникнут в крайних точках полок (т. т> 2 и 4, фиг. 502):

max 5(0 60 ООО (нн 62,5) Ш<-7:--2920--±тО<г1см.

Секториальные касательные напряжения:

npYiMep 118. Определить величину нормальных и касательных напряжений в опасном сечении стержня, рассмотренного в примере 117, при

Фиг. 503.

загружении его парой сил, лежащей в главной плоскости Oz и равной Afo=100 кгм (чистый изгиб, фиг. 503). Считать, что момент Мо образован парой поперечных сил.

Выпишем значения геометрических и упругих характеристик: Ус = 2,5 см; ву==3,75 см; /, = 266,7 см*; Jz = h см*; У > = 2920 cjtc ; /=0,0133 см*;

taaxS >= 19,6 сж*; /=100 слг, ]/ ==0 132; а/=0,132.

Эксцентриситет (плечо) приложенной пары относительно центра изгиба сечения (фиг. 503)

е =ус + ау 2,5 + 3,75 = 6,25 см.

2) при .v = / 5 = 0 .(это вытекает из условия беснрепятственной депланации свободного конца стержня).

Подставив эти условия в уравнение (30.57), получим:

при х = 0 fl = CiachO + CsashO = Mo,

откуда