При ПОСТОЯННОЙ толщине полок bz=zt интеграл может быть заменён произведением из площади эпюры соо на толщину t, т. е.

I bk

Поделив 5в> на площадь F=2W + Mi, найдём

0 =2(2 + ЛЬ,)-

Зная, из подобия треугольников, находим расстояние с до

неё от оси стенки (фиг. 497, б)\

b-bh

откуда

2bt + hb,

(30.48)

Фиг. 498.

Тенерь мы, имея в виду, что 2<о=0, можем построить эпюру главных бекториальных координат от начального радиуса AM, показанную на фиг. 498. Имея эпюру главных секториальных площадей, легко подсчитать величину секториального момента инерции

= I 0)0)5 ds ,

Применяя метод Верещагина, получим:

(30.49)

§ 182. Вычисление напряжений в общем случае сложного сопротивления тонкостенного стержня.

А. Выше, в §§ 172 -178 был рассмотрен случай стеснённого (или изгибного) кручения тонкостенного стержня и получены формулы для вычисления секториальных нормальных и касательных напряжений.

Секториальные напряжения мог)гт возникнуть в сечениях тонкостенного стержня и в других случаях действия сил. Рассмотрим, например, внецентренном приложении сил

Фиг. 499.

работу такого (фиг. 499).

стержня при

§ 182] ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СЛУЧАЕ СЛОЖНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 571

Условия равновесия, выраженные формулами (ЗОЛ), (30.2), (30.3) и (30.17), для этого случая примут вид (сравнить с фиг. 469):

J odF=P;

odF(i) = B.

(30.50)

Здесь j;, 2Г и (J) - линейные и секториальная координаты любой точки сечения, а ур, zp и шр - линейные и секториальная координаты точки приложения силы Р. Интегралы левой части уравнений (30.50) представляют собой нормальную силу, моменты относительно осей 2г hj; и изгибно-крутящий бимомент.

Каждый и этих силовых факторов вызывает нормальные напряжения. Поэтому формула для нормальных напряжений при 1финятом для общего случая действия сил (глава XXIX) правиле знаков примет вид:

, = -4---+ + !. (30-51)

Г Jy Jg

Последний член формулы (30.51) представляет собой нормальные напряжения а, возникающие вследствие закручивания стержня. Изгибно-крутящий бимомент В в произвольном сечении по длине стержня выражается формулой:

g = g/h .. + shj(/-x) (30.52)

где Zu-бимомент для сечения в месте приложения силы, равный:

Во = Р(Лр.

Следовательно, если продольная сила будет приложена в такой точке поперечного сечения, для которой секториальная координата ) равна нулю, то и изгибно-крутящий бимомент В также обратится в нуль. Только в этом частном случае внецентренного приложения растягивающей силы Р (при шя=0), гипотеза плоских сечений будет ртраведливой: сила вызовет лишь растяжение и чистый косой изгиб стержня, не сопровождающийся его закручиванием. В прочих случаях (при (ор z/b 0) внецентренное растяжение тонкостенного стержня открытого профиля- будет сопровождаться его закручиванием.

В некоторых случаях закручивание стержня может произойти только при внецентренном приложении продольной силы, но и ври осевом еб действии. Так, например, для зетового профиля,

рассмотренного выше (§ 180), эпюра секториальных площадей имеет вид, показанный на фиг. 498. Секториальная координата точки О, лежащей в центре тяжести сечения, отлична от нуля. Поэтому если приложить в центре тяжести сечения зет сосредоточенную силу или равномерно распределённую по длине стенки нагрузку с равнодействующей Я, проходящей через центр тяжести сечения, то В = Р{лрф О, и стержень будет закручиваться, как это показано на фиг. 500 пунктиром.

Нормальные напряжения в точках сечения стержня зетового профиля при центральном приложении продольной силы должны определяться по формуле:

Сечения такого стержня после деформации не остаются плоскими, даже если закрепление его концов не препятствует свободной депланации концевых сечений.

Б. Изгибное кручение имеет место также и при поперечном изгибе стержня силами, лежащими в главных плоскостях инерции, не проходящих через центр изгиба сечения.

При плоском поперечном изгибе нормальные напряжения определяются по формуле:

(30.53)

в более общем случае изгиба (косой изгиб, или изгиб в двух главных направлениях):

(30.54)

Величины изгибно-крутящих бимоментов в этих случаях зависят от эксцентриситета внешних сил относительно линии центров изгиба и определяются путём интегрирования дифференциальных уравнений (30.27) и (30.29) или по данным таблицы 27 (§ 177).

Наконец, для случая совместного действия продольных и поперечных сил, сопровождающегося изгибным кручением, формула для нормальных напряжений примет вид:

N MyZ I Му I Biu

(30.55)

Здесь изгибно-крутящий бимомент В является функцией как поперечных, так и продольных сил.

В. Касательные напряжения в этих случаях возникают как под действием поперечных сил, так и вследствие закручивания стержня.