§ 180] определение секториальных геометрических характеристик 561

Для ПОЛОК, выбрав начало отсчётов в точке М, легко найдём значения секториальных координат. Для точки 1 удвоенная площадь треугольника

А - М - 1 с высотой г = -- и основанием s = y будет:

h b bh /ОЛО-7Ч

i= -Y -у --4-. (30.37)

Знак минус взят потому, что радиус-вектор повёрнут от начала отсчёта против часовой стрелки (из положения AM в положение А - /). Такую же величину получат ординаты других трёх точек (Og, (03 и 0)4. Знаки определяются в зависимости от направления вращения подвижного радиуса-вектора от начала отсчётов. Эпюра ш показана на фиг. 489, б.

Как мы видим, для профилей, имеющих ось симметрии, эпюры секториальных площадей оказываются обратно симметричными (или, иначе, косо симметричными).

§ 180. Определение секториальных геометрических характеристик сечения.

Для - расчёта тонкостенных стержней помимо вычислений, связанных с определением главных центральных моментов инерции, необходимо:

а) Найти положение главного секториального полюса, т. е. центра изгиба сечения А.

б) Отыскать положение главной нулевой секториальной точки Ж, т. е. начало отсчёта секториальных координат.

в) Построить эпюру главных секториальных координат о.

г) Подсчитать величины секториальных статических моментов и главного секториального момента инерции сечения 7. Укажем порядок выполнения соответствующих расчётов.

А. Отыскание положения центра изгиба сечения производится на основании уравнений (30.12) и (30.13), полученных в § 175 из условия, что повороты сечений происходят вокруг центра кручения, совпадающего с центром изгиба

fco2:dF = 0; fa)vdF=0.

Здесь а) = а;л-секториальная координата точек сечения относительно главного секториального полюса, положение которого нам пока неизвестно, а у и z - линейные координаты тех же точек в системе главных центральных осей сечения.

Подставим значение и)д = а) из выражения (30.34) в уравнения (30.12) и (30.13). Тогда:

J (Ол dF= J coodF+A Jf zydF-yA J 2dF + C j zdF = 0,

где (Do - секториальная координата, отсчитанная от произвольного полюса Ло; у а и - координаты центра изгиба. Так как Оу и

получим: откуда

аналогично

zdF-yAJy = ,

уа = ~-; 430.38)

щуйР

Za = --.- (30.39)

Таким образом, для определения координат центра изгиба в системе главных центральных осей сечеция надо подсчитать секто-риально-линейные статические моменты сечения относительно произвольного полюса А и главных центральных осей инерции и поделить их на соответствующие моменты инерции, т. е.

Уа = \ Za = -. (30.40)

Jy Jz

Конструкция этих формул ничем не отличается от аналогичных формул для определения центра тяжести сечения:

Координаты центра изгиба не зависят от величины С [в формуле (30.34)], т. е. от выбора того или иного начала отсчетов секториаль-

А д ных площадей. Таким образом, для оты-

-----, ания величин у и z начало отсчетов

может быть взято произвольно.

Если сечение имеет оси симметрии, то отыскание центра изгиба упрощается. При наличии двух осей симметрии центр изгиба лежит в центре тяжести сечения. Фиг. 490. Если сечение имеет только одну ось сим-

метрии, то центр изгиба лежит на ней. В случае, если сечение состоит из прямоугольников, пересекающихся в одной точке (тавр, уголок и т. п.), то центр изгиба лежит в точке их пересечения (фиг. 490).

Oz - главные центральные оси сечения, следует положить равными нулю центробежный момент инерции и статический момент площади сечения:

J,y=jzydF=0; [Sy = jzdF=0.

Заметив, что

§ 180] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК 663

Б. Положение главной нулевой секториальной точки определяется уравнением (30.11)

= Ja)dF=0.

Здесь секториальные площади отсчитываются от полюса А, являющегося центром изгиба, с началом отсчета от главной нулевой секториальной точки, положение которой нам пока неизвестно.

Как было показано в § 179, при перенесений начала отсчетов секториальная координата любой точки может быть определена по формуле (30.33)

О) = (о-(0,

где ) - секториальная координата точек при начале отсчетов от произвольной точки Ml, а (о - секториальная координата искомой.нулевой секториальной точки. Подставляя о) в формулу (30.11), получим:

Jo)df= Jcod/-Ja)dF=0

откуда

м = £--. (30.41)

Таким образом, выбрав произвольное начало отсчётов, мы по формуле (30.41) можем определить секториальную координату нулевой точки, удовлетворяющую условию (30.11). Вообще говоря, этому условию может удовлетворить не одна, а несколько нулевых точек профиля. В таком случае, главной секториальной нулевой точкой, как уже указывалось, мы будем считать ту, которая находится в кратчайшем расстоянии от главного секториального полюса. Если сечение имеет ось симметрии, то главная нулевая секториальная точка лежит на пересечении этой оси со средней линией сечения.

Теперь, когда положение центра изгиба и начала отсчётов определено, можно построить эпюру главных секториальных координат и перейти к вычислению тех секториальных геометрических характеристик сечения из перечисленных ниже в таблице 28, какие понадобятся в дальнейших расчётах. Мы здесь ограничимся вычислением их для наиболее распространённых профилей *). -

) Общие методы вычисления секториальных характеристик см. Власов В. 3. Упругие тонкостенные стержни, ГСИ, 1940.