ш= J rds,

Фиг. 486. ведёт к изменению значения секториальной

площади на постоянную величину. Это видно из фиг. 486; при перенесении начала отсчётов из точки Mi в точку Ж, секториальная координата какой-либо точки получит значение:

о) = о) -(оЛ , (30.33)

где О) - секториальная координата точки п при исходном начале отсчётов в точке М, а (о - удвоенная площадь сектора АМуМ т. е. секториальная координата новой начальной точки Ж, отсчитанная от прежнего начала отсчётов Mi.

До сих пор во всех выводах мы исходили из предположения, что секториальные площади строятся из центра изгиба, положение которого считалось известным. Однако иногда построение эпюры секториальных площадей выполняют, пользуясь произвольным полюсом, что дабт новые значения секториальных координат.

Условимся относительно выбора положения полюса и начала отсчетов при построении секториальных эпюр следующим образом.

Главным секториальным полюсом будем считать центр изгиба сечения Л, пользуясь которым в дальнейшем мы и будем вести построение секториальных эпюр.

Начало отсчетов секториальных площадей будем вести от определенной точки сечения, называемой главной нулевой секториальной точкой. Как уже указывалось (§ 173), в сечении тонкостенного стержня, подвергающегося стесненному кручению, имеются точки, где а = 0 (нулевые точки).

Главной кнулевой секториальной точкой М назовем нулевую точку, которая находится в кратчайшем расстоянии от центра изгиба Л.

Радиус АМ назовём главным начальным радиусом, а секто-риальную эпюру, построенную от него - эпюрой главных секториальных площадей.

В дальнейшем для определения положения главного секториаль-ного полюса и главной нулевой точки, нам придётся предварительно строить секториальные эпюры при произвольном выборе этих точек (подобно тому, как для отыскания положения главных центральных осей инерции сечения балки приходится сначала вести отсчёты от произвольно выбранных осей). Чтобы затем перейти к главным секториальным точкам, удобно воспользоваться приводимыми ниже форму/хами перехода к новой системе секториальных координат.

а) Изменение начала отсчёта дуги s равносильно изменению пределов интегрирования функции

179]

ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ПЛОЩАДЕЙ

б) Формула перехода при перенесении полюса из точки в точку А может быть получена из следующих соображений (фиг. 487).

Возьмём на средней линии сечения любую точку л (у, z) (начало координат у viz для простоты взято в точке Ле). Для точки А элементарная секториальная площадь имеет значение dm = ds r.

Если мы теперь перенесём полюс в точку А(уау zaX то элементарная секториальная

площадь для той же точки п -

будет:

Длина перпендикуляра Га может быть выражена через 1 Го так: 1

Гд =Го -Ло* -ftc = = Гв - Za sin а -у а cos а,

где sina=-

Фиг. 487.

=; следовательно:

Или, умножив на ds и имея в виду, что d(uA=ds га> получаем:

diA - dia -f Za dy -уА dz.

Проинтегрировав, находим:

>A = >o + ZAy -VaZ + C. (30.34)

Это и есть формула перехода к новому полюсу. Здесь щ - секториальная площадь, полученная из произвольного полюса А\ у At Za-координаты нового полюса А\ С - произвольная постоянная, зависящая от выбора начала отсчёта дуги .

Полученные формулы (30.33) и (30.34) позволяют перейти от произвольных исходных точек - полюса и начала отсчётов - к главным секториа льным точкам: центру изгиба и к главной нулевой секториальной точке. Отыскав таким образом положение главных секториальных точек для сечения тонкостенного стержня, мы сможем построить эпюру главных секториальных площадей (координат).

Имея в виду, что о = -~ и что для данного сечения отноше-В

ЙАе 7- = const, т. е. имеет вполне определённое значение, можно

рассматривать эпюру секториальных координат как график нормальных напряжений а, изображённый в некотором масштабе.

Пример 115. Построить эпюру секториальных координат для корыт-ного профиля, изображённого на фиг. 488.

Расстояние от средней линии контура до центра изгиба Л обозначим Оу, Начало отсчётов ведём от луча AM] точка М лежит на оси симметрии Оу.

Построение эпюры секториальных площадей для рассматриваемого сечения начнём с определения секториальной координаты для точки 1 - пересечения полки со стенкой. Пово-ftfy/ рачивая радиус-вектор от поло-

жения AM до А - 7, получим треугольник с основанием

Sji = Y и высотой п = йу. Значит, для рассматриваемой точки / секториальная координата равна:

Фиг. 488.

coi = -fly. (30.35)

Знак минус взят потому, что радиус-вектор был повёрнут против часовой стрелки от начала отсчётов. Найденную величину откладываем в некотором масштабе в точке 1 нормально к средней линии стенки швеллера наружу (влево). Так как точка / принад.1ежит как стенке, так и полке швеллера, то такую же ординату (л>1 откладываем также наружу (вверх) нормально к средней линии стенки.

Теперь повернём радиус-вектор Л - / в положение А -2. При переходе от точки / к точке 2, радиус-вектор вращается по часовой стрелке. Значит, к отрицательной ординате следует прибавить удвоенную площадь треугольника А -1 - 2 с высотой Га =

= 2- основанием s2 = b

, Л - h . h

cog = - 4- у = Y -j- -у

!L(b-ay), (30.36)

Фиг. 489.

Откладываем ординату соз нормально к полке вниз (в сторону, противоположную wi).

Аналогично определяются орди-Q) наты эпюры о) для точек 5 и 4 ниж-

ней части сечения. В пределах каждого участка профиля о изменяется по закону прямой линии. Пример 116. Построить эпюру секториальных координат для стержня двутаврового сечения (фиг. 489).

Вследствие симметрии сечения центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения. Так как в этом случае расстояние от полюса до оси стенки профиля г = 0, то и секториальные координаты для всех точек, принадлежащих стенке двутавра, также равны нулю.